判断三角形形状

前言

判断依据

主要是正、余弦定理的角的形式或者边的形式，其次还可能用到诱导公式，两角和与差的公式和二倍角公式等，

变形思路

①角化边，利用\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配方、提取公因式等，解代数方程得到边的相应关系，从而判断形状；

②边化角，利用\(a=2RsinA\)等，转化为只有角的形式，然后通过三角恒等变换，解三角方程得到，得到内角的关系，从而判断形状；此时要注意由于\(sinA>0\)恒成立，故方程两端出现\(\sin A\)可以放心约掉；但若出现\(cosA\)时不能约分，需要移项提取公因式。

注意：由\(sinAcosB=sinA\)，只能得到\(cosB=1\)，从而得到\(B=\cfrac{\pi}{2}\)，即直角三角形；

由\(cosAsinB=cosAsinC\)，应该得到\(cosA=0\)或\(sinB=sinC\)，从而得到\(A=\cfrac{\pi}{2}\)或\(B=C\)，即直角三角形或等腰三角形；

重要结论

\(sinA=sinB\Rightarrow A=B\)，等腰三角形；\(sin2A=sin2B\Rightarrow A=B\)或\(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，等腰或直角三角形；

\(cosA=cosB\Rightarrow A=B\)，等腰三角形；\(cos2A=cos2B\Rightarrow A=B\)，等腰三角形

\(sin(A-B)=0\Rightarrow A=B\)，等腰三角形；\(cos(A-B)=1\Rightarrow A=B\)，等腰三角形

相关拓展

• 三角形内角和定理

\(A+B+C=\pi\)，\(\cfrac{A+B}{2}=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2}\)

• 三角形中的三角函数关系

\(sin(A+B)=sinC\)，\(cos(A+B)=-cosC\)，\(sin\cfrac{A+B}{2}=cos\cfrac{C}{2}\)，\(cos\cfrac{A+B}{2}=sin\cfrac{C}{2}\)，

• 三角形中的射影定理

\(a=b\cdot cosC+c\cdot cosB\)，\(b=a\cdot cosC+c\cdot cosA\)，\(c=b\cdot cosA+a\cdot cosB\)，

典例剖析

设\(\Delta ABC\)的内角\(A，B，C\)所对的边分别为\(a，b，c\)，若\(bcosC+ccosB=asinA\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.锐角三角形$ $B.直角三角形$ $C.钝角三角形$ $D.不确定$

分析：用正弦定理的边的形式，边化角，

得到\(sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA\)，即\(sin(B+C)=sinA=sinAsinA\)，

由于\(sinA\neq 0\)，故\(sinA=1\)，故\(A=\cfrac{\pi}{2}\)，故为直角三角形。

反思总结：1、不是所有的题目都即可以角化边，也可以边化角。比如本题目如果角化边，得到\(b\cdot \cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=a\cdot \cfrac{a}{2R}\)，接下来\(R\)没办法处理，思路陷入僵局。

2、角化边是应该是\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)，而不是\(sinA=a\)，我们碰到的题目大多能左右约掉\(2R\)，但不是所有都可以约掉。

上例中的条件变为:若\(2sinAcosB=sinC\),则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.直角三角形$ $B.等腰三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等边三角形$

分析：由条件\(2sinAcosB=sinC\)得到，\(2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\)，

整理得到\(sinAcosB-cosAsinB=0\)，即\(sin(A-B)=0\)，

故\(A=B\)，即为等腰三角形。

法2：角化边，\(2\cfrac{a}{2R}\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{c}{2R}\)，变形整理得到，

\(a^2+c^2-b^2=c^2\)，即\(a^2=b^2\)，则\(a=b\)，故为等腰三角形。

上例中的条件变为：若\(acosA=bcosB\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.直角三角形$ $B.等腰三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等腰或直角三角形$

法1：边化角，得到\(sinAcosA=sinBcosB\)，即\(sin2A=sin2B\)，

故\(2A=2B\)或\(2A+2B=\pi\)，

故\(A=B\)或\(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，则为等腰或直角三角形。

法2：角化边，\(a\cdot \cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=b\cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)，

两边同乘以\(ab\)，得到\(a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)\)，

变形整理得到\((a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0\)，

故\(a^2=b^2\)或\(a^2+b^2=c^2\)，

即所求三角形为等腰或直角三角形。

上例中的条件变为：若\(2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC\)，且\(sinB+sinC=1\)，试判断\(\Delta ABC\)的形状。

分析：角化边，得到\(2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c\)，

即\(a^2=b^2+c^2+bc\)，即\(b^2+c^2-a^2=-bc\)；

故\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\cfrac{1}{2}\)，则\(A=\cfrac{2\pi}{3}\)，且有\(sinA=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)。

再将\(a^2=b^2+c^2+bc\)边化角，得到\(sin^2A=sin^2B+sin^2C+sinBsinC\)

\(sinA=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)代入上式得到\(\cfrac{3}{4}=(sinB+sinC)^2-sinBsinC\)，

得到\(sinBsinC=\cfrac{1}{4}\)，又由\(sinB+sinC=1\)
解得\(sinB=sinC=\cfrac{1}{2}\)，由\(B、C\in (0，\cfrac{\pi}{3})\)，

故可得\(B=C=\cfrac{\pi}{6}\)，综上可得\(\Delta ABC\)的形状为等腰钝角三角形。

反思总结：本题目若从边化角入手，会变得比较复杂。

在\(\Delta ABC\)中，若\(sin^2A+sin^2B < sin^2C\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.锐角三角形$ $B.直角三角形$ $C.钝角三角形$ $D.不确定$

分析：角化边，得到\(a^2+b^2<c^2\)，故选C。

设\(a，b，c\) 为三角形$ ABC$ 的三边，\(a≠1\)，\(b<c\)，若 \(log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}a\cdot log_{c-b}a\)，则三角形\(ABC\) 的形状为______三角形。

分析：本题目主要考查对数的变形， 由\(log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}a\cdot log_{c-b}a\)，

得到\(\cfrac{1}{log_a(c+b)}+\cfrac{1}{log_a(c-b)}=2\cfrac{1}{log_a(c+b)}\times\cfrac{1}{log_a(c-b)}\)，

两边同乘以\(log_a(c+b)\cdot log_a(c-b)\)，

去分母得到\(log_a(c+b)+log_a(c-b)=2\)，即\(log_a(c^2-b^2)=2\)，

则有\(a^2=c^2-b^2\)，即\(a^2+b^2=c^2\)，

三角形\(ABC\) 的形状为\(\underline{直角}\)三角形。

【2017•潍坊模拟】在\(\Delta ABC\)中，\(cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{a+c}{2c}\)，\(a，b，c\)分别为角\(A，B，C\)的对边，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.等边三角形$ $B.直角三角形$ $C.等腰或直角三角形$ $D.等腰直角三角形$

分析：\(cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{1+cosB}{2}\)，又已知\(cos^2\cfrac{B}{2}=\cfrac{a+c}{2c}\)，

则\(\cfrac{1+cosB}{2}=\cfrac{a+c}{2c}\)，化简得到\(c(1+cosB)=a+c\)，

变形得到\(cosB=\cfrac{a}{c}\)，即\(\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{a}{c}\)，即\(a^2+c^2-b^2=2a^2\)；

即\(a^2+b^2=c^2\)，故三角形\(ABC\) 的形状为\(\underline{直角}\)三角形。选B。

【2019届高三理科数学资料用题】在\(\Delta ABC\)中，其内角\(A，B，C\)所对的边分别为\(a，b，c\)，若\(\cfrac{c}{b}<cosA\)，则\(\Delta ABC\)的形状为【】

$A.钝角三角形$ $B.直角三角形$ $C.锐角三角形$ $D.等边三角形$

法1：角化边，\(\cfrac{c}{b}<\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，

即\(b^2+c^2-a^2<2c^2\)，即\(a^2+c^2-b^2<0\)，

故\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}<0\)，故故是钝角三角形，选\(A\)。

法2：边化角，由\(\cfrac{c}{b}<cosA\)，得到\(\cfrac{sinC}{sinB}<cosA\)，

即\(sinC<cosAsinB\)，即\(sin(A+B)<cosAsinB\)，打开整理为

\(sinAcosB<0\)，由于\(sinA>0\)，则\(cosB<0\)，故是钝角三角形，选\(A\)。

【2019届高三理科数学资料用题】在\(\Delta ABC\)中，角\(A、B、C\)的对边分别为\(a、b、c\)，且\(2a\cdot sinA=(2b-c)sinB+(2C-B)sinC\)，

(1)求角\(A\)的大小；

分析：由于\(2a\cdot sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC\)，角化边得到，

\(2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c\)，整理即\(bc=b^2+c^2-a^2\)，

故\(cosA=\cfrac{1}{2}\)，又\(A\in (0，\pi)\)，故\(A=60^{\circ}\)。

(2)若\(sinB+sinC=\sqrt{3}\)，试判断\(\Delta ABC\)的形状。

分析：由于\(A=60^{\circ}\)，故\(B+C=120^{\circ}\)，

由\(sinB+sinC=\sqrt{3}\)，即\(sinB+sin(120^{\circ}-B)=\sqrt{3}\)，

打开整理得到，\(sin(B+30^{\circ})=1\)，

由于\(B\in (0^{\circ}，120^{\circ})\)，则\(B+30^{\circ}\in (30^{\circ}，150^{\circ})\)，

故\(B+30^{\circ}=90^{\circ}\)，即\(B=60^{\circ}\)，所以三角形为正三角形。

【2019届高三理科数学资料用题】在\(\triangle ABC\)中，\(sin(A+B)sin(A-B)=sin^2C\)，则三角形的形状为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等边三角形$ $D、等腰直角三角形$

分析：由于\(sin(A+B)=sinC\)，两边约分，得到\(sin(A-B)=sinC=sin(A+B)\)，

打开整理得到，\(2cosAsinB=0\)，由于\(sinB\neq 0\)，

故\(cosA=0\)，即\(A=\cfrac{\pi}{2}\)，故为直角三角形，选\(B\)。

【2019届高三理科数学资料用题】在\(\triangle ABC\)中，\(tanA+tanB+\sqrt{3}=\sqrt{3}tanA\cdot tanB\)，且\(sinA\cdot cosA=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)，则此三角形为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰直角三角形$ $D、等边三角形$

分析：由\(sinA\cdot cosA=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)，可得到\(sin2A=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(A=\cfrac{\pi}{6}\)或\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，

又由题设\(tanA+tanB+\sqrt{3}=\sqrt{3}tanA\cdot tanB\)，得到\(tanA+tanB=\sqrt{3}tanA\cdot tanB-\sqrt{3}\)，代入

\(tanC=-tan(A+B)=-\cfrac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB}=\sqrt{3}\)，由\(C\in(0，\pi)\)得到\(C=\cfrac{\pi}{3}\)，

故由此判断只能是\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，否则\(B=\cfrac{\pi}{2}\)，使得\(tanB\)无意义；

则得到\(B=\cfrac{\pi}{3}\)，故三角形为等边三角形，选\(D\).

【2020届高三理科数学资料用题】在\(\triangle ABC\)中，若\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{a}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}\)，则此三角形为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰直角三角形$ $D、等边三角形$

分析：由\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{a}{cosB}\)，得到\(cosA=cosB\)，由于\(y=cosx\)在\((0,\pi)\)上单递，故\(A=B\)，即\(a=b\)，

则原式可变形为\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}\)，令\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}=k\)，

则\(a=k\cdot cosA\)，\(b=k\cdot cosB\)，\(c=k\cdot cosC\)，由正弦定理可得，

\(a=k\cdot cosA=2RsinA\)，\(b=k\cdot cosB=2RsinB\)，\(c=k\cdot cosC=2RsinC\)，

则\(tanA=\cfrac{sinA}{cosA}=\cfrac{k}{2R}\)，\(tanB=\cfrac{sinB}{cosB}=\cfrac{k}{2R}\)，\(tanC=\cfrac{sinC}{cosC}=\cfrac{k}{2R}\)，

则\(tanA=tanB=tanC\)，又由于函数\(y=tanx\)在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增，

故\(A=B=C\)，则选\(D\)。

【2019吕梁检测】在\(\triangle ABC\)中，若\(sinB\cdot sinC=cos^2\cfrac{A}{2}\)，且\(sin^2B+sin^2C=sin^2A\)，则\(\triangle ABC\)的形状为【\(\quad\)】

$A、等边三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰三角形$ $D、等腰直角三角形$

分析：\(sinB\cdot sinC=cos^2\cfrac{A}{2}=\cfrac{1+cosA}{2}\)，

则\(2sinB\cdot sinC=1+cosA=1-cos(B+C)\)，

即\(cos(B+C)-2sinB\cdot sinC=1\)，整理得到\(cos(B-C)=1\)，

由于\(B，C\)为三角形的内角，故\(B=C\)，

又由于\(sin^2B+sin^2C=sin^2A\)，则\(b^2+c^2=a^2\)，

故\(\triangle ABC\)的形状为等腰直角三角形，故选\(D\)。

【2020 \(\cdot\) 豫北名校模拟】在 \(\triangle ABC\) 中， \(a, b, c\) 分别表示三个内角 \(A, B, C\) 的对边 , 如果 \((a^{2}+b^{2})\)\(\sin(A-B)\)\(=\)\((a^{2}-b^{2})\)\(\sin(A+B)\)， 则 \(\triangle ABC\) 的形状为【\(\quad\)】

$A.等腰三角形$ $B.直角三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等腰三角形或直角三角形$

法一： 采用边化角的策略，求解三角方程得到，

已知等式可化为 \(a^{2}[\sin(A-B)-\sin(A+B)]\)\(=b^{2}[-\sin(A+B)-\sin(A-B)]\)

所以 \(2a^{2}\cos A\sin B=2b^{2}\cos B\sin A\)

由正弦定理，上式可转化为

\(\sin^{2}A\cos A\sin B=\sin ^{2}B\cos B\sin A\)

所以 \(\sin A\sin B(\sin A\cos A-\sin B\cos B)=0\)

因为 \(A, B\) 均为 \(\triangle A B C\) 的内角，所以 \(\sin A \neq 0, \quad \sin B \neq 0\),

所以 \(\sin A\cos A-\sin B\cos B=0\), 即 \(\sin 2A=\sin 2B\).

由 \(A, B\in(0, \pi)\) 得0 \(<2A<2\pi, \quad 0<2 B<2 \pi\), 得 \(2A=2B\) 或 \(2A+2B=\pi\),

即 \(A=B\) 或 \(A+B=\cfrac{\pi}{2}\).

所以 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形或直角三角形，故选 \(D\).

法二：采用角化边的策略，求解代数方程得到。

由法一， 可得 \(2a^{2}\cos A\sin B=2b^{2}\cos B\sin A.\)

由正弦、余弦定理，可得 \(a^{2}\times\cfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\times b=b^{2}\times\cfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\times a.\)

所以 \(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=b^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})\)

即 \((a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0.\) 所以 \(a=b\) 或 \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\),

所以 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形或直角三角形，故选 \(D\).