数列的周期性
数列的周期性
前言
- 数列是特殊的函数，则数列在考查时，完全可能考查其周期性或单调性，本博文主要探究数列的周期性。数列的周期性体现为其一为数列的项的周期性；其二为某几项的和的周期性；
函数周期性
1、\(f(x+4)=f(x)\)或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\) 详细推导
2、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\)
3、\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\)
4、\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);
5、\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)
6、\(f(x+6)=f(x)+f(3)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow\) \(T=6\)(赋值法)
7、\(f(x+6)=f(x)+nf(3)(n\in N^*)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow\) \(T=6\)(赋值法)
数列周期性
务必注意：数列是特殊的函数，\(a_n=f(n)\)，透彻理解这句话的内涵；
- \(a_{n+2}=a_n\)或\(a_{n+2}-a_n=0\)；则数列的\(T=2\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x)\)；
- \(a_{n+2}=-a_n\)或 \(a_{n+2}+a_n=0\)；则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=-f(x)\)；
- \(a_{n+2}=\cfrac{k}{a_n}\)或\(a_{n+2}\cdot a_n=k\)；\(k\)为常数；等积数列，则数列的\(T=4\)；
分析：类比\(f(n+2)=\cfrac{k}{f(n)}\)，再类比\(f(x+2)=\cfrac{k}{f(x)}\)，；
- \(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)或\(a_{n+2}+a_n=a_{n+1}\)；则数列的\(T=6\)；
分析：类比\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\)，再类比\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)；
- \(a_{n+2}\cdot a_n=a_{n+1}\)或\(a_{n+2}=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}\)；则数列的\(T=6\)；
分析：由 \(a_{n+2}\cdot a_n=a_{n+1}\)①，得到 \(a_{n+3}\cdot a_{n+1}=a_{n+2}\)②；
两式相乘，得到\(a_{n+3}\cdot a_n=1\)，即\(a_{n+3}=\cfrac{1}{a_n}\)，故数列的\(T=6\)；
-
\(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)\)；通过计算得到周期；
-
由\(a_n+a_{n-1}=4(n\ge 2)\)，数列的周期为\(T=2\)；
分析：构造\(a_{n+1}+a_n=4\)，两式做差，得到\(a_{n+1}-a_{n-1}=0\)，即数列的周期为\(T=2\)；
典例剖析
法1：利用递推关系推导出数列的前有限项，周期自然就知道了。
由题目可知\(a_1=2，a_2=3，a_3=a_2-a_1=1，a_4=a_3-a_2=-2\)，
\(a_5=a_4-a_3=-3，a_6=a_5-a_4=-1，a_7=a_6-a_5=2\)，
即\(a_7=a_1\)，周期\(T=6\)，所以\(a_{2016}=a_6=-1\)
法2：由\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)可得到\(a_{n+3}=a_{n+2}-a_{n+1}\)，两个式子相加，得到
\(a_{n+2}=-a_{n-1}\)，用\(n+1\)替换\(n\)，得到\(a_{n+3}=-a_n\)，仿上可得
\(a_{n+6}=a_{[(n+3)+3]}=-a_{n+3}=-(-a_n)=a_n\)，故周期\(T=6\)，其余仿上完成。
法1：利用递推关系推导出数列的前有限项，
\(a_1=1，a_2=3，a_3=\cfrac{a_2}{a_1}=3，a_4=\cfrac{a_3}{a_2}=1\)，
\(a_5=\cfrac{a_4}{a_3}=\cfrac{1}{3}，a_6=\cfrac{a_5}{a_4}=\cfrac{1}{3}，a_7=\cfrac{a_6}{a_5}=1\)，
周期\(T=6\)，所以\(a_{2016}=a_6=\cfrac{1}{3}\).
法2：由\(a_{n+1}=\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\)可得，\(a_{n+2}=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}\)，
两式相乘得到\(a_{n+2}=\cfrac{1}{a_{n-1}}\)，即\(a_{n+3}=\cfrac{1}{a_n}\)，
\(a_{n+6}=a_{[(n+3)+3]}=\cfrac{1}{a_{n+3}}=a_n\)，
故周期\(T=6\)，其余仿上完成。
分析：由题意，很自然想到本题是考察函数的周期，
所以计算前有限项观察周期，\(f_1(2)=1，f_2(2)=0，f_3(2)=2，f_4(2)=1，\cdots\)，
所以周期\(T=3\)，所以\(f_{2016}(2)=f_3(2)=2\).
法1：令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，再令\(x=1，y=1\)，则有\(f(2)+f(0)=2f(1)f(1)\)，得到\(f(2)=-\cfrac{1}{2}\)；
再令\(x=2，y=1\)，则有\(f(3)+f(1)=2f(2)f(1)\)，得到\(f(3)=-1\)；
再令\(x=3，y=1\)，则有\(f(4)+f(2)=2f(3)f(1)\)，得到\(f(4)=-\cfrac{1}{2}\)；
再令\(x=4，y=1\)，则有\(f(5)+f(3)=2f(4)f(1)\)，得到\(f(5)=\cfrac{1}{2}\)；
再令\(x=5，y=1\)，则有\(f(6)+f(4)=2f(5)f(1)\)，得到\(f(6)=1\)；
再令\(x=6，y=1\)，则有\(f(7)+f(5)=2f(6)f(1)\)，得到\(f(7)=\cfrac{1}{2}\)；\(\cdots\)
故周期为\(T=6\)，
\(f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2016)\)
\(=336\times(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))=0\).
【法2】：令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，令\(y=1\)，则有\(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)\)，
即就是\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)\)，
由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)\)，两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，
即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期为\(T=6\)，
接下来只要计算\(f(2)=-\cfrac{1}{2}，f(3)=-1，f(4)=-\cfrac{1}{2}，f(5)=\cfrac{1}{2}\)的值即可，
说明：若令\(x=0\)，则得到\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，所以\(f(-y)=f(y)\)，可知函数是偶函数。
分析：本题目考查数列的单调性，由\(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=4\)，
得到\(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=4\)，两式相减得到，\(a_{n+3}=a_n\)，故\(T=3\)，
又由\(a_{202}+a_{203}+a_{204}=4\)，\(a_{202}=1\)，及\(a_{203}-a_{204}=1\)，得到\(a_{203}=2\)，
又\(a_{202}=1\)，故\(a_{201}=1\)，\(a_{200}=2\)，\(a_{199}=1\)，又\(200=66\times 3+2\)，
则有\(S_{200}=66(a_1+a_2+a_3)+a_{199}+a_{200}=66\times 4+2+1=267\)。
分析：带有\((-1)^n\)的数列更多的体现出周期性，所以计算其前几项发现：
\(a_1=1\)，\(a_2=-2\)，\(a_3=-1\)，\(a_4=0\)，\(a_5=1\)，\(a_6=-2\)，\(\cdots\)，
即周期\(T=4\)，且有\(a_1+a_2+a_3+a_4=-2\)，
故\(S_{2018}=504\times(-2)+a_1+a_2=-1008+1-2=-1009\).
分析：本题目考查数列的周期性和分组求和；由于\(a_1=1\)，\(a_2=-2\)，\(a_3=-3\)，\(a_4=4\)，\(a_5=5\)，\(a_6=-6\)，\(a_7=-7\)，\(a_8=8\)，\(\cdots\)，
观察发现，\(a_1+a_2+a_3+a_4=a_5+a_6+a_7+a_8=\cdots=a_{2013}+a_{2014}+a_{2015}+a_{2016}=0\)，且\(a_{2017}=2017\)，\(a_{2018}=-2018\)，\(a_{2019}=-2019\)，
所以\(S_{2019}=0\times \cfrac{2016}{4}+2017-2018-2019=-2020\)。
法2：思路提示，\(a_n=n(sin\cfrac{n\pi}{2}+cos\cfrac{n\pi}{2})=n\cdot sin\cfrac{n\pi}{2}+n\cdot cos\cfrac{n\pi}{2}=b_n+c_n\)，
然后分析数列\(\{b_n\}\)和\(\{c_n\}\)，
得到\(b_{4k+1}+b_{4k+2}+b_{4k+3}+b_{4k+4}=-2\)，
\(c_{4k+1}+c_{4k+2}+c_{4k+3}+c_{4k+4}=2\)，
故\(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}=0\)，其余同上；
数列\(\{x_n\}\)满足：\(x_1=1\)，且对于任意的\(n\in N_*\)，点\((x_n，x_{n+1})\)都在函数\(y=f(x)\)的图像上，
则\(x_1+x_2+\cdots+x_{2015}=?\)
分析：这是一个很新颖的数列题目，但是和函数的列表法紧密结合，要顺利解答还需要一定的数学素养。
由题目可知\(y=f(x)，x_{n+1}=f(x_n)，x_1=1\)，
则有\(x_2=f(x_1)=f(1)=3\)；\(x_3=f(x_2)=f(3)=5\)；\(x_4=f(x_3)=f(5)=6\)；
\(x_5=f(x_4)=f(6)=1\)；\(\cdots，T=4\)；
\(\sum\limits_{k=1}^{2015}{x_k}=503(x_1+x_2+x_3+x_4)+(x_1+x_2+x_3)=503\times 15+9=7554\)
说明：由题目可知，\(a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}=a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\)，
即\(a_{n+3}=a_n\)，故\(T=3\)；
已知非零数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+2}\cdot a_n=a_{n+1}\)，则\(T=6\)；
说明：由题目可知，\(a_{n+2}\cdot a_n=a_{n+1}\)①，则\(a_{n+3}\cdot a_{n+1}=a_{n+2}\)②，
两式作比，得到\(\cfrac{a_{n+2}\cdot a_n}{a_{n+2}}=\cfrac{a_{n+1}}{a_{n+3}\cdot a_{n+1}}\)，即\(a_{n+3}=\cfrac{1}{a_n}\)；
故\(T=6\)；
