用二次函数研究三次多项式函数

前言

由于三次多项式函数在高考中的考查频次比较高，其导函数为二次函数，故用二次函数研究三次多项式函数的问题，可以看成二次函数的又一个大作用。

案例剖析

设三次多项式函数\(F(x)\)\(=\)\(ax^3\)\(+\)\(bx^2\)\(+\)\(cx\)\(+\)\(d\)(\(a>0\))，其导函数为二次函数\(F'(x)\)\(=\)\(3ax^2\)\(+2bx\)\(+c\)，导函数的判别式标记为\(\Delta\)，

1、若\(\Delta\leq 0\)，则\(F'(x)\ge0\)恒成立，所以\(F(x)\)在\(R\)上单调递增，有一个零点；

引申：若\(\Delta > 0\)，则\(F'(x)\ge0\)不恒成立，所以\(F(x)\)在\(R\)上不是单调递增。

2、若\(\Delta>0\)，令\(y=F'(x)\)的两个零点分别\(m、n\)，则\(F(x)\)在区间\((-\infty，m]\)单增，在区间\([m,n]\)单减，在区间\([n,+\infty)\)单增，此时函数\(F(x)\)有极大值\(F(m)\)，有极小值\(F(n)\)，

我们结合导函数图像，可以作出原函数的草图，由图象可以判断得到以下结论：

• 若\(F(m)>0\)，\(F(n)>0\)，则 \(F(x)\)有一个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)=0\)，\(F(n)<0\)，则 \(F(x)\)有两个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)<0\)，\(F(n)<0\)，则 \(F(x)\)有一个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)>0\)，\(F(n)<0\)，则 \(F(x)\)有三个零点，有两个极值点；

• 若\(F(m)>0\)，\(F(n)=0\)，则 \(F(x)\)有两个零点，有两个极值点。

对于三次多项式函数而言，当三次项系数 \(a>0\) 时，单调性依次为增、减、增；当三次项系数 \(a<0\) 时，单调性依次为减、增、减；

思维导图

graph LR B[(用导数工具
研究函数
性质)] B-->A[其他类型
的函数] B---> C[(三次函数
的考查)] C--> D[三次函数
有极大值和极小值] D--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零] C--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点] E--> D2[函数的极大值与极小值异号] C--> F[三次函数
恰有三个单调区间] F--> D1 C--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点] M--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号] C--> G[三次函数
没有极值或极值点] G--> G1[三次函数
是单调函数] C--> H[三次函数
是单调函数] H--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零] G1--> H1 C--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间] I--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解] I--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可]

典例剖析

【2014高考新课标Ⅰ卷理科，第11题】已知函数\(f(x)=ax^3-3x^2+1\)，若函数\(f(x)\)存在唯一零点\(x_0\)，且\(x_0>0\)，则\(a\)的取值范围是【C】

$A.(2，+\infty)$ $B.(1，+\infty)$ $C.(-\infty，-2)$ $D.(-\infty，-1)$

【法1】：由于函数\(f(x)\)存在唯一零点 \(x_0\)，且\(x_0>0\)，

则方程\(f(x)=0\)有唯一的正实数解，即\(ax^3-3x^2+1=0\)有唯一的正实数解，

即方程\(a=\cfrac{3x^2-1}{x^3}\)有唯一的正实数解，

即函数\(y=a\)和函数\(y=h(x)=\cfrac{3x^2-1}{x^3}=\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{x^3}(x>0)\)有唯一的交点，

其余思路待补充。

【法2】：先将题目转化为，方程\(ax^3=3x^2-1\)有唯一的正实数解，

则静态函数\(y=3x^2-1\)和动态函数\(y=ax^3\)只能在区间\((0 ，+\infty)\)上有交点，

此处需要我们知道函数\(y=ax^3\)的参变数\(a\)的作用，

由图像可知，当\(a\leq 0\)时，都不满足题意，故需要\(a<0\)，

但当\(a\)取很小的负值时，显然满足题意，当\(a\)为某一个恰当的负值时，两个曲线在\(x<0\)时可能相切，

当然，此处你可能还会认为是有相切，还有相交，这不要紧，我们通过下述的计算就能回答这个疑惑。

设切点坐标为\(P(x_0，y_0)\)，则有\(x_0<0\)，则有

\[\left\{\begin{array}{l}{3ax_0^2=6x_0}\\{y_0=ax_0^3}\\{y_0=3x_0^2-1}\end{array}\right. \]

解得\(x_0=-1\)，\(y_0=2\)，将切点\(P(-1，2)\)代入\(y=ax^3\)，解得\(a=-2\)，

故当\(a<-2\)时，两条曲线在\(x<0\)上没有交点，只在\(x>0\)上有交点，故满足题意，

即\(a\)的取值范围时\((-\infty，-2)\)，故选\(C\)。

【法3】：利用导数方法，同时注意题目的隐含条件，\(f(0)=1\)，\(f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)\)，

①当\(a=0\)时，原函数为\(y=-3x^2+1\)，有两个零点，不符合题意，舍去。

②当\(a>0\)时，由导函数的图像可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)上单调递增，在区间\((0，\cfrac{2}{a})\)上单调递减，在区间\((\cfrac{2}{a}，+\infty)\)上单调递增，

此时函数在区间\((-\infty，0)\)上必有一个零点，不符合题意，舍去。

③当\(a<0\)时，由导函数的图像可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，\cfrac{2}{a})\)上单调递减，在区间\((\cfrac{2}{a}，0)\)上单调递增，在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，

此时只需要函数\(f(x)\)的极小值大于零即可，即\(f(\cfrac{2}{a})>0\)，

即\(a\cdot (\cfrac{2}{a})^3-3\cdot (\cfrac{2}{a})^2+1>0\)，化简得到\(a^2>4\)，

解得\(a<-2\)或\(a>2\)，又\(a<0\)，故\(a<-2\)。

即\(a\)的取值范围时\((-\infty，-2)\)，故选\(C\)。

【2021届高三文数三轮模拟题】若函数 \(f(x)=x^3+ax^2+4\) 有且仅有一个零点，则实数 \(a\) 的取值范围是【 \(\quad\)】

$A.(-3，+\infty)$ $B.[-2，+\infty)$ $C.(-1，-2)$ $D.[0，2]$

法1： 由于 \(f'(x)=3x^2+2ax\) ，令 \(f'(x)=0\)，解得 \(x_1=0\)，\(x_2=-\cfrac{2a}{3}\)，

①当 \(a\geqslant 0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,-\cfrac{2a}{3})\)，\((0,+\infty)\) 上单调递增，在 \((-\cfrac{2a}{3},0)\)上单调递减，又 \(f(0)=4>0\)，故函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,-\cfrac{2a}{3})\)上必有唯一零点；

②当 \(a<0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,0)\)，\((-\cfrac{2a}{3},+\infty)\) 上单调递增，在 \((0,-\cfrac{2a}{3})\)上单调递减，故只需要满足 \(f(-\cfrac{2a}{3})>0\)即可，解得\(a>-3\)，故此时 \(-3<a<0\)，

综上所述，\(a\) 的取值范围是 \((-3，+\infty)\)， 故选 \(A\).

法2：用完全分离参数法，转化为\(a=\cfrac{-x^3-4}{x^2}\) 有且仅有一个交点；待后补充完善；

法3：用不完全分离参数法，转化为\(ax^2=-x^3-4\) 有且仅有一个交点；待后补充完善；

已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1\)有极大值和极小值，则\(a\)的取值范围是【\(\quad\)】

$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$

分析：由题可知，\(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6)\)，

因为函数有极大值和极小值，所以方程 \(f'(x)=0\) 有两个不相等的实数根,

即 \(3x^2+2ax+(a+6)=0\) 有两个不相等的实数根， 即\(\Delta>0\)，则\((2a)^2-4\times 3\times(a+6)>0\)，

解得: \(a<-3\)或\(a>6\)，故选 \(D\)。

[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 \(f^{\prime}(x)=0\) 有两个不相等的实数根是解题的关键。

若函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a\) 的图像与 \(x\) 轴有三个不同的交点，则实数\(a\) 的取值范围是___________.

分析：由于\(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)，

故当\(x\in (-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

当\(x\in(-1,3)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\) 单调递诚，

故\(f(x)_{\text{极大}}=f(-1)=\cfrac{5}{3}-3a\)， \(f(x)_{\text{极小}}=f(3)=-9-3a\),

又\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a\) 的图像与 \(x\) 轴有三个不同的交点，

所以 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{5}{3}-3a>0\\-9-3a<0\end{array}\right.\)，解得\(a\in(-3, \cfrac{5}{9})\).

[解后反思]：函数的零点个数问题或方程解的个数问题，可借助函数的导数符号，得到函数的单调性，再数形结合求得参数的取值范围。

(1).已知函数\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\)的单调减区间为\([-1,2]\)，求\(b\)，\(c\)的值.

分析：由于\(f'(x)=3x^2+2bx+c\)，由于函数\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\)的单调减区间为\([-1,2]\)，

则\(f'(x)\leqslant 0\)在区间\([-1,2]\)上恒成立，且\(f'(x)\leqslant 0\)的解集为\([-1,2]\)，

则方程\(3x^2+2bx+c=0\)的两个根分别为\(x_1=-1\)，\(x_2=2\)，

由韦达定理可知，\(x_1+x_2=-1+2=-\cfrac{2b}{3}\)，\(x_1x_2=-1\times 2=\cfrac{c}{3}\)

解得，\(b=-\cfrac{3}{2}\)，\(c=-6\)；

(2).设\(f(x)=ax^{3}+x\)恰好有三个单调区间，求实数\(a\)的取值范围.

分析： \(f^{\prime}(x)=3a x^{2}+1\)且\(f(x)\)有三个单调区间

则方程 \(f'(x)=3a x^{2}+1=0\)有两个不等的实根

即\(\Delta=0^{2}-4\times 1\times 3a>0\)，解得\(a<0\)

故\(a\)的取值范围为\((-\infty, 0)\).

【2020高三文数训练题】若函数\(f(x)=ax^{3}+3x^{2}-x\) 恰好有三个单调区间，则实数\(a\)的取值范围是_____________.

解析：由题意知 \(f'(x)=3ax^{2}+6x-1\)，由函数 \(f(x)\) 恰好有三个单调区间，

得\(f'(x)\)有两个不相等的变号零点，故需满足\(a \neq 0\)，且 \(\Delta=36+12a>0\)，

解得\(a>-3\)，所以实数 \(a\) 的取值范围是 \((-3,0) \cup(0,+\infty)\)，

故答案 \(:(-3,0) \cup(0,+\infty)\)

【2022高三文数训练题】 设 \(x_{1}\)，\(x_{2}\) 是函数 \(f(x)=x^{3}-2ax^{2}+a^{2}x\) 的两个极值点， 若\(x_{1}\)\(<\)\(2\)\(<\)\(x_{2}\)， 则实数 \(a\) 的取值范围是_________.

解析: 由题意得 \(f'(x)=3x^{2}-4ax+a^2\) 的两个零点\({x}_{1}\)，\(x_{2}\) 满足 \(x_{1}<2<x_{2}\)，

即导函数方程\(f'(x)=0\)的两个根在\(2\)的两侧此处用到二次方程根的分布知识，若方程\(x^2\)\(+\)\((m-1)x\)\(+\)\(m^2\)\(-\)\(2\)\(=\)\(0\)有一个正根和一个负根，求\(m\)的取值范围；分析：由于函数图像开口向上，故只需要满足\(f(0)\)\(<\)\(0\)即可。，所以 \(f'(2)=12-8 a+a^{2}<0\)，

解得 \(2<a<6\)，故填写\((2,6)\) .

【2022高三文数训练题】 已知函数 \(f(x)=\cfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}-2ax+1\)， 若函数 \(f(x)\) 在 \((1,2)\) 上有极值， 则实数 \(a\) 的 取值范围为__________ .

解析: 由于函数 \(f(x)\) 在 \((1,2)\) 上有极值，则函数\(y=f'(x)\)在 \((1,2)\) 上有零点，

又\(f'(x)=x^{2}+2x-2a\) 的图象是开口向上的拋物线， 且对称轴为 \(x=-1\)，

则\(f'(x)\)在\((1\)\(,\)\(2)\)上是单调递增函数此处用到函数的零点存在性定理，由于函数\(y\)\(=\)\(f'(x)\)必须在区间\((1\)\(,\)\(2)\)上有且仅有一个零点，故必须\(f'(1)\)\(<\)\(0\)且\(f'(2)\)\(>\)\(0\)，

因此 \(\left\{\begin{array}{l}f'(1)=3-2a<0, \\ f'(2)=8-2a>0,\end{array}\right.\) ，解得 \(\cfrac{3}{2}<a<4\)，

故实数 \(a\) 的取值范围为 \(\left(\cfrac{3}{2}, 4\right)\).

已知函数 \(f(x)=\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+1\)\((a\in R)\)，下列选项中不可能是函数 \(f(x)\) 图象的是【\(\qquad\)】

解析：由于 \(f(x)=\cfrac{1}{3}ax^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+x+1\)(\(a\in R\))，则\(f^{\prime}(x)=a x^{2}+x+1\)

当 \(a=0\) 时， \(f'(x)=x+1\)， 易得 \(f(x)\) 在 \((-\infty,-1)\) 上为减函数， 在 \((-1,+\infty)\) 上为增函数， 故 \(A\) 可能；

当 \(a\geq\cfrac{1}{4}\) 时， \(\Delta\leq 0\)，\(f'(x)\geq 0\)，\(f(x)\) 为增函数， 故 \(B\) 可能；

当 \(a<0\) 时， \(\Delta>0\)，\(f'(x)\) 有两个不相等且互为异号的实数根(即两个极值点一正一负)， \(f(x)\) 先递减再递增然后再递减， 故 \(C\) 可能；

当 \(0<a<\cfrac{1}{4}\) 时， \(\Delta>0\)，\(f'(x)\) 有两个不相等的负实数根(即两个极值点都是负)， \(f(x)\) 先递增再递减然后再递增， 则 \(D\) 错误，故选 \(D\) 。