函数单调性 VS 数列单调性

前情概要

以前在博客园写过一篇 为什么说数列是特殊的函数 - 静雅斋数学 - 博客园，浏览知乎时看到有人问道：

由函数的单调性能不能推出数列的单调性，能不能互推 .

针对这一点，写一篇感悟。此篇重点锁定在单调性来解读说明，让我们共同厘清思维中的困惑。

数列特殊性

数列是按照一定的次序排列而成的一列数字，那么这些数字 \(a_n\) 自然就是次序 \(n\) 的函数，所以我们学习数列时，首先就应该从函数的角度体会这个特殊的数学素材，即 \(a_n=f(n)\) 。不过和以前我们学习的函数有点不一样，举个图像例子，说点人话都能听懂，比如 \(f(x)\) \(=\) \(2x^2\) \(-3x\) \(+1\)，\(x\in [-1，4]\)，其图像是区间 \([-1，4]\) 上的连续曲线，没有间断的，如图中的红色曲线；而数列 \(a_n\) \(=\) \(2n^2-3n+1\)，\(n=1,2,3,4\)，她的图像是一些离散的点，这些点并不能连成曲线，如图中的紫色的点。

为什么是这样的呢？

原因是自变量 \(n\) 的取值不是连续取值，意思是当 \(n=3\) 后，只能取 \(n=4\)，不能取 \(n=3.01\) 或 \(n=3.5\) 等这些值。也就是定义域比较特殊，数列的定义域是正整数集 \(N^{*}\) 或者正整数集的有限子集 \(\{1，2，3，\cdots，n\}\)，注意数列中没有 \(a_0\) 项；

典例对比

已知\(a>0\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n=\begin{cases}(3-a)n-3，n\leq 7 \\ a^{n-6}，n>7 \end{cases}\)，数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列，求\(a\)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，\(\begin{cases} 3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{cases}\)，解得：\(a\in(2，3)\)

感悟反思：1、如果是一般的函数\(f(x)\)，则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系；

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=n^2-kn(k\in N)\)，且\(\{a_n\}\)单调递增，则\(k\)的取值范围为【 】

$A.(-\infty，2]$ $B.(-\infty，3)$ $C.(-\infty，2)$ $D.(-\infty，3]$

考点：数列的单调性，二次函数的对称性和单调性，恒成立命题

【法1】：利用数列单调性的一般定义求解；

由于\(a_n=n^2-kn(n\in N^*)\)，且\(\{a_n\}\)单调递增，

所以\(a_{n+1}-a_n>0\)对\(\forall n\in N*\)都成立，

又\(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-k(n+1)-n^2+kn=2n+1-k\)，所以由\(2n+1-k>0\)，

即\(k<2n+1\)恒成立，可知\(k<(2n+1)_{min}=3\).

【法2】：借助数列对应的二次函数独特性质，如对称性和单调性求解

\(a_n=(n-\cfrac{k}{2})^2-\cfrac{k^2}{4}\)，其对称轴是\(n=\cfrac{k}{2}\)，

要使得\(\{a_n\}\)单调递增，

则必须且只需\(\cfrac{k}{2}<\cfrac{3}{2}\)，解得\(k<3\)，故选B。

【法3】：使用导数法求解，

由\(a_n=f(n)=n^2-kn\)为单调递增数列，则\(f'(n)\ge 0\)在\(n\in N^*\)上恒成立，

即\(f'(n)=2n-k\ge 0\)在\(n\in N^*\)上恒成立，分离参数得到，

\(k\leq 2n\)在\(n\in N^*\)上恒成立，即\(k\leq (2n)_{min}=2\)，

则\(k\leq 2\)。这个解法是错误的。

【错因分析】：若数列\(a_n=f(n)\)单调递增，但函数\(y=f(x)\)不一定单调递增；但是若函数\(y=f(x)\)单调递增，则其对应的数列\(a_n=f(n)\)必然单调递增。

感悟反思：1、法1转化为恒成立问题，很好理解；2、法2很容易错解为 \(\cfrac{k}{2}<1\)，故\(k<2\)，其实这是充分不必要条件，也就是说遗漏了一部分的解集，可以看看上面的图像解释。

相关结论

若函数 \(y=f(x)\) 单调递增，则其对应的数列 \(a_n=f(n)\) 必然单调递增，若数列 \(a_n=f(n)\) 单调递增，函数 \(y=f(x)\) 却不一定单调递增；

若函数 \(y=f(x)\) 单调递减，则其对应的数列 \(a_n=f(n)\) 必然单调递减，若数列 \(a_n=f(n)\) 单调递减，函数 \(y=f(x)\) 却不一定单调递减；