动态圆相关问题探究

前情概要

利用 AI 和 网络画板 结合来探索高中数学题目。

问题列举

【答静雅斋用户提问】已知点集 \(C=\{(x,y)\mid(x-\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2=4，0\leqslant\theta\leqslant\phi\}\)，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两个部分(空白区域)，下列说法正确的是【\(\qquad\)】

$A$.图形内部空白区域的面积最小值为 $\pi$

$B.$ 图形上的点到原点的最小距离为$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$C.$ 当 $\phi=\cfrac{3\pi}{2}$ 时，图形关于 $y=-x$ 对称

$D.$当 $\phi=\pi$ 时，图形内外边界的长度和为 $8\pi$

AI 的解答列举

为便于 AI 能准确理解题意，我们将以上代码做调整，便于直接喂给 AI ，具体的 AI 链接，你可以自己体会一下 AI 的强大和 AI 的幻觉，有时候她是胡说八道的。以下代码的用法说明：将鼠标移动到代码框内，其右上角会出现一个复制按钮。

已知点集 $C=\{(x,y)\mid(x-\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2=4，0\leqslant\theta\leqslant\phi\}$，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两个部分(空白区域)，下列说法正确的是【】
$A$.图形内部空白区域的面积最小值为 $\pi$；
$B$.图形上的点到原点的最小距离为 $\cfrac{\sqrt{2}}{2}$；
$C$.当 $\phi=\cfrac{3\pi}{2}$ 时，图形关于 $y=-x$ 对称；
$D$.当 $\phi=\pi$ 时，图形内外边界的长度和为 $8\pi$；     

以下是利用 AI 所作的解答。

💡豆包解答

豆包解答

1.分析圆的方程及性质：

• 已知点集 \(C =\{(x,y)\mid(x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4,0\leqslant\theta\leqslant\phi\}\) ，方程 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) 表示圆心为 \((\cos\theta,\sin\theta)\) ，半径 \(r = 2\) 的圆。
• 因为 \(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1\) ，所以圆心 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 在单位圆 \(x^{2}+y^{2}=1\) 上。

2.分析选项A：

• 图形内部空白区域是由圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) （圆心在单位圆 \(x^{2}+y^{2}=1\) 上）所围成的。
• 当 \(\phi = 2\pi\) 时，这些圆覆盖的区域最完整，此时图形内部空白区域面积最小。
• 考虑圆心在单位圆上，半径为 \(2\) 的圆系。两个相邻圆的圆心角为 \(\cfrac{2\pi}{n}\) （ \(n\) 足够大时近似分析），单位圆上的圆心到圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) 的圆心距离为 \(1\) ，圆的半径 \(r = 2\) 。
• 当圆系完整覆盖时，空白区域是由一些弓形组成。通过分析可知，空白区域面积最小的情况是圆系尽可能紧密覆盖。此时空白区域面积为 \(4\pi-\ 3\pi=\pi\) 。因为整个半径为 \(2\) 的圆面积是 \(S=\pi r^{2}=4\pi\) ，而这些圆覆盖的有效面积（扣除空白）相当于 \(3\) 个单位圆的面积（通过几何关系和极限思想分析），所以图形内部空白 - 区域的面积最小值为 \(\pi\) ，A选项正确。

3.分析选项B：

• 设圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) 的圆心 \(O'(\cos\theta,\sin\theta)\) ，圆心 \(O'\) 在单位圆 \(x^{2}+y^{2}=1\) 上，圆的半径 \(r = 2\) 。
• 圆心 \(O'(\cos\theta,\sin\theta)\) 到原点 \(O(0,0)\) 的距离 \(d=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\) 。
• 则图形上的点到原点的最小距离为 \(2 - 1=1\) ，而不是 \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\) ，B选项错误。

4.分析选项C：

• 当 \(\phi=\cfrac{3\pi}{2}\) 时，取圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) 上一点 \((x_{0},y_{0})\) ，其关于直线 \(y=-x\) 对称的点为 \((-y_{0},-x_{0})\) 。
• 若点 \((x_{0},y_{0})\) 满足 \((x_{0}-\cos\theta)^2+(y_{0}-\sin\theta)^2 = 4\) ， \(0\leqslant\theta\leqslant\cfrac{3\pi}{2}\) 。
• 对于对称点 \((-y_{0},-x_{0})\) ，设 \(\theta\) 变为 \(\theta'\) ，由于圆心 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 在单位圆上，通过分析可知，不存在这样的 \(\theta'\in[0,\cfrac{3\pi}{2}]\) 使得 \((-y_{0}-\cos\theta')^2+(-x_{0}-\sin\theta')^2 = 4\) ，所以图形不关于 \(y = - x\) 对称，C选项错误。

5.分析选项D：

• 当 \(\phi=\pi\) 时，图形的外边界是由圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) （ \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) ）形成的。
• 外边界的长度是半径为 \(2\) 的半圆的弧长加上两个圆的直径（通过图形分析），外边界弧长 \(l_{1}=\cfrac{1}{2}\times2\pi\times2 = 2\pi\) ，两个直径长 \(l_{2}=2\times4 = 8\) 。
• 内边界是由圆 \((x - \cos\theta)^2+(y - \sin\theta)^2 = 4\) （ \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) ）在内部形成的，内边界弧长 \(l_{3}=\cfrac{1}{2}\times2\pi\times2 = 2\pi\) 。
• 图形内外边界的长度和为 \(2\pi+8 + 2\pi=4\pi + 8\neq8\pi\) ，D选项错误。

综上，答案是 \(A\) 。 答案是否正确，待后边自行探索确认。

💡KiMi解答

KiMi解答

已知点集 $ C = {(x, y) \mid (x - \cos\theta)^2 + (y - \sin\theta)^2 = 4, 0 \leqslant \theta \leqslant \phi } $ ，其图形将平面剩余部分分成内外两个部分。我们需要判断下列说法的正确性：

选项分析：

A. 图形内部空白区域的面积最小值为 \(\pi\)

• 当 \(\phi = \pi\) 时，圆心沿单位圆上半部分移动，半径2。此时，内部空白区域可能是一个半径为1的圆，面积为 \(\pi\) 。随着 \(\phi\) 增大，内部空白区域面积可能先减小后增大，因此最小值为 \(\pi\) 。选项A正确。

B. 图形上的点到原点的最小距离为 \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)

• 每个圆的圆心到原点的距离为1，半径2，圆上到原点的最近距离为 \(2 - 1 = 1\) ，因此选项B错误。

C. 当 \(\phi = \cfrac{3\pi}{2}\) 时，图形关于 \(y = -x\) 对称

• 对称性分析发现，存在点不在对称范围内，例如 \(\theta = \pi/4\) 对称后的点不在范围内，因此选项C错误。

D. 当 \(\phi = \pi\) 时，图形内外边界的长度和为 \(8\pi\)

• 计算发现外边界为半径3的上半圆（长度 \(3\pi\) ），内边界为半径1的下半圆（长度 \(\pi\) ），总长度为 \(4\pi\) ，与选项D不符，因此错误。

结论：选项 \(\mathbf{A}\) 正确，其他选项错误。答案是否正确，待后边自行探索确认。

💡DeepSeek 解答

DeepSeek 解答

已知点集 \(C=\{(x,y)\mid(x-\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2=4，0\leqslant\theta\leqslant\phi\}\)，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两个部分(空白区域)。分析各选项的正确性：

选项A：图形内部空白区域的面积最小值为 \(\pi\)。

• 点集C是由圆心在单位圆上、半径为2的圆组成的集合。当\(\phi=2\pi\)时，所有圆心覆盖整个单位圆，此时所有圆的交集区域是以原点为中心、半径为1的圆，面积为\(\pi\)。因此，选项A正确。

选项B：图形上的点到原点的最小距离为\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)。

• 每个圆心到原点的距离为1，半径为2的圆上离原点最近的点距离为1，因此选项B错误。

选项C：当 \(\phi=\cfrac{3\pi}{2}\) 时，图形关于 \(y=-x\) 对称。

• 当\(\phi=3\pi/2\)时，圆心覆盖单位圆上的大部分区域，但反射后的圆心部分不在原范围内，导致图形不对称。因此选项C错误。

选项D：当 \(\phi=\pi\) 时，图形内外边界的长度和为 \(8\pi\)。

• 当\(\phi=\pi\)时，圆心在单位圆的上半部分，半径为2的圆的外边界形成半径为3的圆，周长为\(6\pi\)；内边界形成半径为1的圆，周长为\(2\pi\)，总和为\(8\pi\)。因此选项D正确。

最终正确选项为：\(\boxed{AD}\)，答案是否正确，待后边自行探索确认。

自行动态探索

正确答案 : \(ACD\)；

详细解析：利用上述课件中的按钮1-3，结合动态课件，可以容易的从形的角度知道选项 \(A\) 正确，\(B\) 错误，\(C\) 正确，当然选项 \(C\) 的证明需要严格推理 ^[1]。难点是选项 \(D\) 的正误判断。

用电脑演示的选项 \(D\) 的图形如下：

我的解释如下： \(x\) 轴上方的外边界，为圆心为 \((0,0)\)，半径为 \(3\) 的圆的一半，周长为 \(\cfrac{1}{2}\times 2\pi\times3=3\pi\)，\(x\) 轴下方的内边界，为圆心为 \((0,0)\)，半径为 \(1\) 的圆的一半，周长为 \(\cfrac{1}{2}\times 2\pi\times1=\pi\)，两个周长小计为 \(4\pi\)；

外边界的周长还缺下图中的劣弧 \(\overset{\frown}{XY}\) 长的2倍，以及内边界的周长还缺下图中的劣弧 \(\overset{\frown}{AZ}\) 长的2倍，利用勾股定理可以计算得到，\(\angle XWY=120^{\circ}\)，\(\angle AWZ=\angle AWY=60^{\circ}\)，这两个劣弧的长之和为 圆心为 \((0,0)\)，半径为 \(2\) 的圆的一半，那么其2倍就是圆心为 \((0,0)\)，半径为 \(2\) 的圆的周长，为 \(4\pi\)，故总计为 \(8\pi\)，综上正确答案 : \(ACD\)；

体验总结

• AI 在目前来说，还是靠不住的，不过她可以给我们提供一个思路，供我们打开和拓展自己的思维，这倒是非常不错的选择。

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1. 对于选项 \(C\) ，当 \(\varphi=\cfrac{3\pi}{2}\) 时，设点 \(P(x_0, y_0)\) ，
   存在参数 \(\theta_1\) 满足 \((x_0-\cos \theta_1)^2+(y_0-\sin \theta_1)^2=4\) ，
   则点 \(P^{\prime}(-y_0,-x_0)\) 与点 \(P\) 关于直线 \(y=-x\) 对称，
   由 \(0\leq \theta_1 \leq \cfrac{3 \pi}{2}\) ，取 \(\theta_2=\cfrac{3\pi}{2}-\theta_1\in[0, \cfrac{3\pi}{2}]\) ，
   代入 \((-y_0-\cos\theta_2)^2\)\(+\)\((-x_0-\sin \theta_2)^2\)
   \(=\)\([-y_0-\cos(\cfrac{3 \pi}{2}-\theta_1)]^2\)\(+\)\([-x_0-\sin(\cfrac{3\pi}{2}-\theta_1)]^2\)
   \(=\)\((y_0-\sin\theta_1)^2\)\(+\)\((x_0-\cos\theta_1)^2\)\(=\)\(4\)
   即点 \(P^{\prime}(-y_0,-x_0)\) 也在 \(C\) 中，
   故 \(\varphi=\cfrac{3\pi}{2}\) 时，图形关于直线 \(y=-x\) 对称，
   所以 \(C\) 正确；这是从数的角度的严格推理证明。 ↩︎