平面向量释疑 | 探究

前言

廓清认知

已知向量等式 \(\vec{a}=\vec{b}\) ，给其两边同时点乘向量 \(\vec{c}\)，得到 \(\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}\)，对吗？

【释疑】：这样的操作是可以的，借助向量的数量积说明如下：

不妨设 \(\vec{a}\neq\vec{0}\)， \(\vec{c}\neq\vec{0}\)，用以说明最一般的情形，则 \(<\vec{a},\vec{c}>\)\(=\)\(<\vec{b},\vec{c}>\)\(=\)\(\theta\) ，则利用数量积的定义，容易说明 \(\vec{a}\cdot\vec{c}\)\(=\)\(|\vec{a}||\vec{c}|\cos\theta\)\(=\)\(|\vec{b}||\vec{c}|\cos\theta\)\(=\)\(\vec{b}\cdot\vec{c}\) 成立，补充：当 \(\vec{a}\neq\vec{0}\)，\(\vec{c}=\vec{0}\)，容易说明 \(\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}\)，当都是零向量时更容易说明。

故上述说法是对的，故而也有这样的变形：比如 \(\vec{m}=\vec{n}\)，则 得到 \(\vec{m}^2=\vec{n}^2\)，此时既可以看成是给两边同时平凡，也可以看成是给两边同时点乘以向量，即 \(\vec{m}=\vec{n}\) 和 \(\vec{m}=\vec{n}\) 同时相乘得到 \(\vec{m}^2=\vec{n}^2\)。

• 人教2019 A 版的 \(P_{46}\) 页，证明正弦定理时，使用的思路：给向量等式 \(\overrightarrow{AC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CB}\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\) 两边同时乘以单位向量 \(\vec{j}\)，得到\(\vec{j}\cdot(\overrightarrow{AC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CB})\)\(=\)\(\vec{j}\cdot\overrightarrow{AB}\)，就是两边同时乘以相同向量的做法。

由 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) ，不能两边同时除以 \(\vec{a}\) 得到 \(\vec{b}=\vec{c}\)，数量积的运算对消去律不成立。

【释疑】：给定两个方向相反的非零向量 \(\vec{b}\)，\(\vec{c}\) ，此时位置关系是平行的，如果 \(\vec{a}\) 与它们都垂直，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，\(\vec{a}\cdot\vec{c}=0\)，故满足已知的条件 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=0\) ，但是两边同时除以 \(\vec{a}\) 得到 \(\vec{b}=\vec{c}\) 是和已知条件矛盾的，故数量积的运算对消去律不成立。 其实： \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0\)

对任意向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，若 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则得到 \(\vec{a}=\vec{0}\)，或 \(\vec{b}=\vec{0}\)，或 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)，

当 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 不共线时，则 \(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

若 \(\vec{a}//\vec{b}\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 若 \(\vec{b}\) 的方向相同或者相反。

分析：若两个向量都不是非零向量，由两个向量平行[或共线]，确实应该得到其方向相同或者相反。但若其中一个向量为 \(\vec{0}\) ，由于零向量的方向是任意的，也就是方向不确定，故此时二者的方向就不同了，故若 \(\vec{a}//\vec{b}\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 若 \(\vec{b}\) 的方向相同、相反或不同。

教材上规定 \(\vec{0}\) 的方向是任意的，\(\vec{0}\) 与任意向量平行，\(\vec{0}\) 与任意向量垂直。

①若非零向量 \(\vec{a}\) 和非零向量 \(\vec{b}\) 的方向相同或相反，则向量 \(\vec{a}+\vec{b}\) 与 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 之一的方向相同。这就是假命题，若 \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\)，则 \(\vec{0}\) 与 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 之一的方向都不同。

② \(|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 方向相反。这是假命题，比如令 \(\vec{a}=\vec{0}\) ， \(\vec{b}\neq\vec{0}\) ，则满足题意，但是 \(\vec{0}\)、\(\vec{b}\) 方向不同。