三个对数值的大小比较 | 一题多解

💎更新于 2023-12-13 16:14 | 发布于 2023-11-28 07:50
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前言

一题多解，往往能发散我们的数学思维，整合知识构架，梳理求解思路，内化数学能力，提升数学素养。

典例剖析

比较 $\log_23$ 和 $\log_34$ 和 $\log_45$ 的大小比较；

【法 1】：利用假分数的性质和相关变形，以及对数函数的性质比较大小；

提示：假分数的性质 $\cfrac{b}{a}>\cfrac{b+m}{a+m}$ ( $b>a$ )，可通过作差法证明；相关变形： $\log_ab=\log_a{(a\times\cfrac{b}{a})}=1+\log_a{\cfrac{b}{a}}$ ；将 $\log_23=\log_2(2\times \cfrac{3}{2})=1+\log_2\cfrac{3}{2}$ ，同理， $\log_34=1+\log_3\cfrac{4}{3}$ ， $\log_45=1+\log_4\cfrac{5}{4}$ ，这样，关键是比较 $\log_2\cfrac{3}{2}$ 与 $\log_3\cfrac{4}{3}$ 与 $\log_4\cfrac{5}{4}$ 的大小关系；又由于 $\cfrac{3}{2}>\cfrac{3+1}{2+1}=\cfrac{4}{3}$ ， $\cfrac{4}{3}>\cfrac{4+1}{3+1}=\cfrac{5}{4}$ ，故可以利用先取同底数的对数，再结合不同底数真数相同的对数值来传递大小关系即可。

解：由于 $\cfrac{3}{2}>\cfrac{4}{3}>0$ ，两边同时取以 $2$ 为底的对数，

得到 $\log_2\cfrac{3}{2}>\log_2\cfrac{4}{3}$ ，又 $\log_2\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{4}{3}$ [底数相同真数不相同]，

所以，可得到 $\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}$ ，①

同理同法，由于 $\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}>0$ ，两边同时取以 $3$ 为底的对数，

得到 $\log_3\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{5}{4}$ ，又 $\log_3\cfrac{5}{4}>\log_4\cfrac{5}{4}$ [底数相同真数不相同]，

所以，可得到 $\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}$ ，②

由①②可得， $\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}$ ，对双连不等式的左中右同时 $+1$ ，

得到 $1+\log_2\cfrac{3}{2}>1+\log_3\cfrac{4}{3}>1+\log_4\cfrac{5}{4}$ ，

整理即得到， $\log_23>\log_34>\log_45$ .

【法 2】：构造函数法，观察要比较的三个对数式，特征一致，都是真数比底数大 $1$ ，故想到尝试构造函数 $f(x)$ $=$ $\log_x{(x+1)}$ ，研究其单调性，^[1] 然后依托单调性比较大小。

解：构造函数 $f(x)=\log_x{(x+1)}$ ，则 $f(x)=\log_x{(x\cdot\cfrac{x+1}{x})}=\log_xx+\log_x\cfrac{x+1}{x}=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$ ，

由于要比较的三个自变量都大于 $1$ ，故限定要研究的函数的定义域为 $(1,+\infty)$ ，

则内函数 $u=1+\cfrac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，外函数 $f(x)=\log_xu$ 由于底数 $x>1$ 而单调递增，

故复合函数 $y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，则 $y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，

即 $f(x)=\log_x{(x+1)}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，

又由于 $2<3<4$ ，故 $f(2)>f(3)>f(4)$ ，即 $\log_23>\log_34>\log_45$ .

【法 3】：依托利用中间量作差法来比较大小，其中中间量的选择来源于二分法思想，

解：由于 $\log_23$ ， $\log_34$ ， $\log_45\in (1,2)$ ，故取区间 $(1,2)$ 的中点 $\cfrac{1+2}{2}=\cfrac{3}{2}$ 为中间量来比较大小，

$\log_23-\cfrac{3}{2}=\log_23-\cfrac{3}{2}\log_22=\log_23-log_22^{\frac{3}{2}}=\log_2\sqrt{9}-\log_2\sqrt{8}>0$ ，

$\log_34-\cfrac{3}{2}=\log_34-\cfrac{3}{2}\log_33=\log_34-log_33^{\frac{3}{2}}=\log_3\sqrt{16}-\log_3\sqrt{27}<0$ ，

即 $\log_23>\cfrac{3}{2}>\log_34$ ①；再尝试如下，

$\log_45-\cfrac{3}{2}=\log_45-\cfrac{3}{2}\log_44=\log_45-log_44^{\frac{3}{2}}=\log_4\sqrt{25}-\log_4\sqrt{64}<0$ ，

故 $\log_34-\cfrac{3}{2}<0$ ， $\log_45-\cfrac{3}{2}<0$ ，可知 $\log_34$ ， $\log_45\in (1,\cfrac{3}{2})$ ，

但没有比较出大小，此时再取区间 $(1,\cfrac{3}{2})$ 的中点 $\cfrac{5}{4}$ 为中间量来比较大小，

$\log_34-\cfrac{5}{4}=\log_34-\cfrac{5}{4}\log_33=\log_34^{\frac{4}{4}}-log_33^{\frac{5}{4}}=\log_3\sqrt[4]{256}-\log_3\sqrt[4]{243}>0$ ，

$\log_45-\cfrac{5}{4}=\log_45-\cfrac{5}{4}\log_44=\log_45^{\frac{4}{4}}-log_44^{\frac{5}{4}}=\log_4\sqrt[4]{625}-\log_4\sqrt[4]{1024}<0$ ，

即 $\log_34>\cfrac{5}{4}>\log_45$ ②；

由①②可知， $\log_23>\log_34>\log_45$ .

【法 4】：作差法，利用均值不等式来比较大小；

提示： $\log_23=\cfrac{1}{\log_32}$ ， $-a\cdot b>-(\cfrac{a+b}{2})^2$ ，其中 $a\neq b$ ， $a,b>0$

解： $\log_23-\log_34=\cfrac{1}{\log_32}-\cfrac{\log_32\cdot\log_34}{\log_32}=\cfrac{1-\log_32\cdot\log_34}{\log_32}$

$>\cfrac{1-\left(\frac{\log_32+\log_34}{2}\right)^2}{\log_32}=\cfrac{1-\left(\frac{\log_38}{2}\right)^2}{\log_32}>\cfrac{1-\left(\frac{\log_39}{2}\right)^2}{\log_32}=0$

故 $\log_23$ $>$ $\log_34$ ①.

$\log_34-\log_45=\cfrac{1}{\log_43}-\cfrac{\log_43\cdot\log_45}{\log_43}=\cfrac{1-\log_43\cdot\log_45}{\log_43}$

$>\cfrac{1-\left(\frac{\log_43+\log_45}{2}\right)^2}{\log_43}=\cfrac{1-\left(\frac{\log_4{15}}{2}\right)^2}{\log_43}>\cfrac{1-\left(\frac{\log_4{16}}{2}\right)^2}{\log_43}=0$

即 $\log_34$ $>$ $\log_45$ ②；

由①②可知， $\log_23$ $>$ $\log_34$ $>$ $\log_45$ .

【法 5】：作商法，利用均值不等式来比较大小；

提示： $\log_23=\cfrac{1}{\log_32}$ ， $\cfrac{1}{a\cdot b}>\cfrac{1}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$ ，其中 $a\neq b$ ， $a,b>0$

解： $\cfrac{\log_23}{\log_34}$ $=$ $\cfrac{1}{\log_32\cdot\log_34}$ $>$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_32+\log_34}{2}\right)^2}$ $=$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_38}{2}\right)^2}$ $>$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_39}{2}\right)^2}$ $=$ $1$ ，

故 $\log_23$ $>$ $\log_34$ ①.

$\cfrac{\log_34}{\log_45}$ $=$ $\cfrac{1}{\log_43\cdot\log_45}$ $>$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_43+\log_45}{2}\right)^2}$ $=$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_4{15}}{2}\right)^2}$ $>$ $\cfrac{1}{\left(\frac{\log_4{16}}{2}\right)^2}$ $=$ $1$ ，