三个对数值的大小比较 | 一题多解
💎更新于 2023-12-13 16:14 | 发布于 2023-11-28 07:50
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前言
一题多解,往往能发散我们的数学思维,整合知识构架,梳理求解思路,内化数学能力,提升数学素养。
典例剖析
【法 1】:利用假分数的性质和相关变形,以及对数函数的性质比较大小;
提示:假分数的性质 ba>b+ma+m(b>a),可通过作差法证明;相关变形: logab=loga(a×ba)=1+logaba;将 log23=log2(2×32)=1+log232,同理,log34=1+log343,log45=1+log454,这样,关键是比较 log232 与 log343 与 log454 的大小关系;又由于 32>3+12+1=43,43>4+13+1=54,故可以利用先取同底数的对数,再结合不同底数真数相同的对数值来传递大小关系即可。
解:由于 32>43>0,两边同时取以 2 为底的对数,
得到 log232>log243,又 log243>log343[底数相同真数不相同],
所以,可得到 log232>log343,①
同理同法,由于 43>54>0,两边同时取以 3 为底的对数,
得到 log343>log354,又 log354>log454[底数相同真数不相同],
所以,可得到 log343>log454,②
由①②可得,log232>log343>log454,对双连不等式的左中右同时 +1,
得到 1+log232>1+log343>1+log454,
整理即得到,log23>log34>log45 .
【法 2】:构造函数法,观察要比较的三个对数式,特征一致,都是真数比底数大 1,故想到尝试构造函数 f(x)=logx(x+1) ,研究其单调性,[1] 然后依托单调性比较大小。
解:构造函数 f(x)=logx(x+1), 则 f(x)=logx(x⋅x+1x)=logxx+logxx+1x=1+logx(1+1x),
由于要比较的三个自变量都大于 1,故限定要研究的函数的定义域为 (1,+∞),
则 内函数 u=1+1x 在 (1,+∞) 上单调递减,外函数 f(x)=logxu 由于底数 x>1 而单调递增,
故复合函数 y=logx(1+1x) 在 (1,+∞) 上单调递减,则 y=1+logx(1+1x) 在 (1,+∞) 上单调递减,
即 f(x)=logx(x+1) 在 (1,+∞) 上单调递减,
又由于 2<3<4,故 f(2)>f(3)>f(4),即 log23>log34>log45 .
【法 3】:依托利用中间量作差法来比较大小, 其中中间量的选择来源于二分法思想,
解:由于 log23,log34,log45∈(1,2),故取区间 (1,2) 的中点 1+22=32 为中间量来比较大小,
log23−32=log23−32log22=log23−log2232=log2√9−log2√8>0,
log34−32=log34−32log33=log34−log3332=log3√16−log3√27<0,
即 log23>32>log34 ①;再尝试如下,
log45−32=log45−32log44=log45−log4432=log4√25−log4√64<0,
故 log34−32<0, log45−32<0,可知 log34,log45∈(1,32),
但没有比较出大小,此时再取区间 (1,32) 的中点 54 为中间量来比较大小,
log34−54=log34−54log33=log3444−log3354=log34√256−log34√243>0,
log45−54=log45−54log44=log4544−log4454=log44√625−log44√1024<0,
即 log34>54>log45 ②;
由①②可知, log23>log34>log45 .
【法 4】:作差法,利用均值不等式来比较大小;
提示:log23=1log32,−a⋅b>−(a+b2)2,其中 a≠b,a,b>0
解:log23−log34=1log32−log32⋅log34log32=1−log32⋅log34log32
>1−(log32+log342)2log32=1−(log382)2log32>1−(log392)2log32=0
故 log23>log34 ①.
log34−log45=1log43−log43⋅log45log43=1−log43⋅log45log43
>1−(log43+log452)2log43=1−(log4152)2log43>1−(log4162)2log43=0
即 log34>log45 ②;
由①②可知, log23>log34>log45 .
【法 5】:作商法,利用均值不等式来比较大小;
提示:log23=1log32,1a⋅b>1(a+b2)2,其中 a≠b,a,b>0
解:log23log34=1log32⋅log34>1(log32+log342)2=1(log382)2>1(log392)2=1,
故 log23>log34 ①.
log34log45=1log43⋅log45>1(log43+log452)2=1(log4152)2>1(log4162)2=1,
即 log34>log45 ②;
由①②可知, log23>log34>log45 .
用电脑验证,该函数的定义域为 (0,1)∪(1,+∞),单调递减区间是 (0,1) 和 (1,+∞), ↩︎
作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。
出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17859737.html
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