三个对数值的大小比较 | 一题多解
三个对数值的大小比较，此题目比较经典。
前言
一题多解，往往能发散我们的数学思维，整合知识构架，梳理求解思路，内化数学能力，提升数学素养。
典例剖析
【法1】：利用假分数的性质和相关变形，以及对数函数的性质比较大小；
提示：假分数的性质\(\cfrac{b}{a}>\cfrac{b+m}{a+m}\)(\(b>a\))，可通过作差法证明；相关变形： \(\log_ab=\log_a{(a\times\cfrac{b}{a})}=1+\log_a{\cfrac{b}{a}}\)；将 \(\log_23=\log_2(2\times \cfrac{3}{2})=1+\log_2\cfrac{3}{2}\)，同理，\(\log_34=1+\log_3\cfrac{4}{3}\)，\(\log_45=1+\log_4\cfrac{5}{4}\)，这样，关键是比较 \(\log_2\cfrac{3}{2}\) 与 \(\log_3\cfrac{4}{3}\) 与 \(\log_4\cfrac{5}{4}\) 的大小关系；又由于 \(\cfrac{3}{2}>\cfrac{3+1}{2+1}=\cfrac{4}{3}\)，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{4+1}{3+1}=\cfrac{5}{4}\)，故可以利用先取同底数的对数，再结合不同底数真数相同的对数值来传递大小关系即可。
解：由于 \(\cfrac{3}{2}>\cfrac{4}{3}>0\)，两边同时取以 \(2\) 为底的对数，
得到 \(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_2\cfrac{4}{3}\)，又 \(\log_2\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{4}{3}\)[底数相同真数不相同]，
所以，可得到 \(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}\)，①
同理同法，由于 \(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}>0\)，两边同时取以 \(3\) 为底的对数，
得到 \(\log_3\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{5}{4}\)，又 \(\log_3\cfrac{5}{4}>\log_4\cfrac{5}{4}\)[底数相同真数不相同]，
所以，可得到 \(\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}\)，②
由①②可得，\(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}\)，对双连不等式的左中右同时\(+1\)，
得到 \(1+\log_2\cfrac{3}{2}>1+\log_3\cfrac{4}{3}>1+\log_4\cfrac{5}{4}\)，
整理即得到，\(\log_23>\log_34>\log_45\) .
【法2】：构造函数法，观察要比较的三个对数式，特征一致，都是真数比底数大 \(1\)，故想到尝试构造函数 \(f(x)\)\(=\)\(\log_x{(x+1)}\) ，研究其单调性，[1]然后依托单调性比较大小。
解：构造函数 \(f(x)=\log_x{(x+1)}\)， 则 \(f(x)=\log_x{(x\cdot\cfrac{x+1}{x})}=\log_xx+\log_x\cfrac{x+1}{x}=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\)，
由于要比较的三个自变量都大于 \(1\)，故限定要研究的函数的定义域为 \((1,+\infty)\)，
则 内函数 \(u=1+\cfrac{1}{x}\)在 \((1,+\infty)\)上单调递减，外函数 \(f(x)=\log_xu\) 由于底数 \(x>1\) 而单调递增，
故复合函数 \(y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\) 在 \((1,+\infty)\)上单调递减，则 \(y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\)在 \((1,+\infty)\)上单调递减，
即 \(f(x)=\log_x{(x+1)}\) 在 \((1,+\infty)\)上单调递减，
又由于 \(2<3<4\)，故 \(f(2)>f(3)>f(4)\)，即 \(\log_23>\log_34>\log_45\) .
【法3】：依托利用中间量作差法来比较大小， 其中中间量的选择来源于二分法思想，
解：由于 \(\log_23\)，\(\log_34\)，\(\log_45\in (1,2)\)，故取区间 \((1,2)\) 的中点 \(\cfrac{1+2}{2}=\cfrac{3}{2}\) 为中间量来比较大小，
\(\log_23-\cfrac{3}{2}=\log_23-\cfrac{3}{2}\log_22=\log_23-log_22^{\frac{3}{2}}=\log_2\sqrt{9}-\log_2\sqrt{8}>0\)，
\(\log_34-\cfrac{3}{2}=\log_34-\cfrac{3}{2}\log_33=\log_34-log_33^{\frac{3}{2}}=\log_3\sqrt{16}-\log_3\sqrt{27}<0\)，
即 \(\log_23>\cfrac{3}{2}>\log_34\) ①；再尝试如下，
\(\log_45-\cfrac{3}{2}=\log_45-\cfrac{3}{2}\log_44=\log_45-log_44^{\frac{3}{2}}=\log_4\sqrt{25}-\log_4\sqrt{64}<0\)，
故 \(\log_34-\cfrac{3}{2}<0\)， \(\log_45-\cfrac{3}{2}<0\)，可知 \(\log_34\)，\(\log_45\in (1,\cfrac{3}{2})\)，
但没有比较出大小，此时再取区间 \((1,\cfrac{3}{2})\)的中点 \(\cfrac{5}{4}\) 为中间量来比较大小，
\(\log_34-\cfrac{5}{4}=\log_34-\cfrac{5}{4}\log_33=\log_34^{\frac{4}{4}}-log_33^{\frac{5}{4}}=\log_3\sqrt[4]{256}-\log_3\sqrt[4]{243}>0\)，
\(\log_45-\cfrac{5}{4}=\log_45-\cfrac{5}{4}\log_44=\log_45^{\frac{4}{4}}-log_44^{\frac{5}{4}}=\log_4\sqrt[4]{625}-\log_4\sqrt[4]{1024}<0\)，
即 \(\log_34>\cfrac{5}{4}>\log_45\) ②；
由①②可知， \(\log_23>\log_34>\log_45\) .
【法4】：作差法，利用均值不等式来比较大小；
提示：\(\log_23=\cfrac{1}{\log_32}\)，\(-a\cdot b>-(\cfrac{a+b}{2})^2\)，其中 \(a\neq b\)，\(a,b>0\)
解：\(\log_23-\log_34=\cfrac{1}{\log_32}-\cfrac{\log_32\cdot\log_34}{\log_32}=\cfrac{1-\log_32\cdot\log_34}{\log_32}\)
\(>\cfrac{1-\left(\frac{\log_32+\log_34}{2}\right)^2}{\log_32}=\cfrac{1-\left(\frac{\log_38}{2}\right)^2}{\log_32}>\cfrac{1-\left(\frac{\log_39}{2}\right)^2}{\log_32}=0\)
故 \(\log_23\)\(>\)\(\log_34\) ①.
\(\log_34-\log_45=\cfrac{1}{\log_43}-\cfrac{\log_43\cdot\log_45}{\log_43}=\cfrac{1-\log_43\cdot\log_45}{\log_43}\)
\(>\cfrac{1-\left(\frac{\log_43+\log_45}{2}\right)^2}{\log_43}=\cfrac{1-\left(\frac{\log_4{15}}{2}\right)^2}{\log_43}>\cfrac{1-\left(\frac{\log_4{16}}{2}\right)^2}{\log_43}=0\)
即 \(\log_34\)\(>\)\(\log_45\) ②；
由①②可知， \(\log_23\)\(>\)\(\log_34\)\(>\)\(\log_45\) .
【法5】：作商法，利用均值不等式来比较大小；
提示：\(\log_23=\cfrac{1}{\log_32}\)，\(\cfrac{1}{a\cdot b}>\cfrac{1}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)，其中 \(a\neq b\)，\(a,b>0\)
解：\(\cfrac{\log_23}{\log_34}\)\(=\)\(\cfrac{1}{\log_32\cdot\log_34}\)\(>\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_32+\log_34}{2}\right)^2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_38}{2}\right)^2}\)\(>\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_39}{2}\right)^2}\)\(=\)\(1\)，
故 \(\log_23\)\(>\)\(\log_34\) ①.
\(\cfrac{\log_34}{\log_45}\)\(=\)\(\cfrac{1}{\log_43\cdot\log_45}\)\(>\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_43+\log_45}{2}\right)^2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_4{15}}{2}\right)^2}\)\(>\)\(\cfrac{1}{\left(\frac{\log_4{16}}{2}\right)^2}\)\(=\)\(1\)，
即 \(\log_34\)\(>\)\(\log_45\) ②；
由①②可知， \(\log_23\)\(>\)\(\log_34\)\(>\)\(\log_45\) .
用电脑验证，该函数的定义域为 \((0,1)\cup(1,+\infty)\)，单调递减区间是 \((0,1)\) 和 \((1,+\infty)\)， ↩︎
