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三个对数值的大小比较 | 一题多解

💎更新于 2023-12-13 16:14 | 发布于 2023-11-28 07:50
约 4660 字 | 阅读估时 16 分钟

公式定理💯随心记

【等差数列性质】等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,则 SnS2nSnS3nS2n ,仍成等差数列。


前言

一题多解,往往能发散我们的数学思维,整合知识构架,梳理求解思路,内化数学能力,提升数学素养。

典例剖析

比较 log23 log34log45 的大小比较;

【法 1】:利用假分数的性质和相关变形,以及对数函数的性质比较大小;

提示:假分数的性质 ba>b+ma+m(b>a),可通过作差法证明;相关变形: logab=loga(a×ba)=1+logaba;将 log23=log2(2×32)=1+log232,同理,log34=1+log343log45=1+log454,这样,关键是比较 log232log343log454 的大小关系;又由于 32>3+12+1=4343>4+13+1=54,故可以利用先取同底数的对数,再结合不同底数真数相同的对数值来传递大小关系即可。

解:由于 32>43>0,两边同时取以 2 为底的对数,

得到 log232>log243,又 log243>log343[底数相同真数不相同],

所以,可得到 log232>log343,①

同理同法,由于 43>54>0,两边同时取以 3 为底的对数,

得到 log343>log354,又 log354>log454[底数相同真数不相同],

所以,可得到 log343>log454,②

由①②可得,log232>log343>log454,对双连不等式的左中右同时 +1

得到 1+log232>1+log343>1+log454

整理即得到,log23>log34>log45 .

【法 2】:构造函数法,观察要比较的三个对数式,特征一致,都是真数比底数大 1,故想到尝试构造函数 f(x)=logx(x+1) ,研究其单调性,[1] 然后依托单调性比较大小。

解:构造函数 f(x)=logx(x+1), 则 f(x)=logx(xx+1x)=logxx+logxx+1x=1+logx(1+1x)

由于要比较的三个自变量都大于 1,故限定要研究的函数的定义域为 (1,+)

则 内函数 u=1+1x(1,+) 上单调递减,外函数 f(x)=logxu 由于底数 x>1 而单调递增,

故复合函数 y=logx(1+1x)(1,+) 上单调递减,则 y=1+logx(1+1x)(1,+) 上单调递减,

f(x)=logx(x+1)(1,+) 上单调递减,

又由于 2<3<4,故 f(2)>f(3)>f(4),即 log23>log34>log45 .

【法 3】:依托利用中间量作差法来比较大小, 其中中间量的选择来源于二分法思想,

解:由于 log23log34log45(1,2),故取区间 (1,2) 的中点 1+22=32 为中间量来比较大小,

log2332=log2332log22=log23log2232=log29log28>0

log3432=log3432log33=log34log3332=log316log327<0

log23>32>log34 ①;再尝试如下,

log4532=log4532log44=log45log4432=log425log464<0

log3432<0log4532<0,可知 log34log45(1,32)

但没有比较出大小,此时再取区间 (1,32) 的中点 54 为中间量来比较大小,

log3454=log3454log33=log3444log3354=log34256log34243>0

log4554=log4554log44=log4544log4454=log44625log441024<0

log34>54>log45 ②;

由①②可知, log23>log34>log45 .

【法 4】:作差法,利用均值不等式来比较大小;

提示:log23=1log32ab>(a+b2)2,其中 aba,b>0

解:log23log34=1log32log32log34log32=1log32log34log32

>1(log32+log342)2log32=1(log382)2log32>1(log392)2log32=0

log23>log34 ①.

log34log45=1log43log43log45log43=1log43log45log43

>1(log43+log452)2log43=1(log4152)2log43>1(log4162)2log43=0

log34>log45 ②;

由①②可知, log23>log34>log45 .

【法 5】:作商法,利用均值不等式来比较大小;

提示:log23=1log321ab>1(a+b2)2,其中 aba,b>0

解:log23log34=1log32log34>1(log32+log342)2=1(log382)2>1(log392)2=1

log23>log34 ①.

log34log45=1log43log45>1(log43+log452)2=1(log4152)2>1(log4162)2=1

log34>log45 ②;

由①②可知, log23>log34>log45 .


  1. 用电脑验证,该函数的定义域为 (0,1)(1,+),单调递减区间是 (0,1)(1,+)↩︎

作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。

出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17859737.html

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