分段函数的单调性

前言

单调性

• 已知分段函数的单调性，求参数的取值范围

【高一教学用题】已知\(a\in R\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases}x+3&x\leq 1 \\ x+a &x>1\end{cases}\)，函数 \(f(x)\) 是增函数，求 \(a\) 的取值范围。

解：由题可知，函数的定义域是 \(R\) ，函数在区间 \((-\infty,+\infty)\) 上单调递增，

而两段函数在其各自的定义域上都是单调递增，故只需要第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值的极限即可，

故需要满足 \(1+3\leqslant 1+a\)，解之得到，\(a\geqslant 3\)

故 \(a\) 的取值范围是 \([3,+\infty)\) .

易错提示：本题目容易漏掉 \(a=3\) 的情形，即图中的点 \(P\) 和点 \(Q\) 重合的情形。让一个小球从蓝色射线的上端开始滚动，如果小球能沿着蓝色和红色射线滚落，而不是直接从蓝色射线的末端滚落，则此分段函数在整个定义域上是增函数，这是函数在定义域上单调递增的形上的要求，不一定要求函数的图像要连续。

【高三用题】已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数 \(f(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，函数 \(f(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，则需要第一段函数单调递增，则必须满足条件：\(3-a>0\)，且第二段函数单调递增，则必须满足条件：\(a>1\)，且第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值的极限，即 \((3-a)7-3\)\(\leq\)\(a^{7-6}\)，解此不等式组即可。

解：由题目可知，必须满足条件

\[\begin{cases} 3-a>0 &① \\ a>1 &②\\ (3-a)7-3\leq a^{7-6}& ③\end{cases} \]

化简之得到，\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

【高三用题】已知\(a>0\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n = \begin{cases} &(3-a)n-3 &n\leq 7 \\ &a^{n-6} &n>7 \end{cases}\)，数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列，求\(a\)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，\(\begin{cases} 3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{cases}\)，解得：\(a\in(2，3)\)

感悟反思：1、本题目和上例非常类似，但是又不一样，原因是数列是特殊的函数，所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样，而且不能取等号。

2、如果是一般的自变量连续取值的函数\(f(x)\)，则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系；现在是自变量离散取值的数列，那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系；