从数的角度理解视角转换

前言

典例剖析

已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，则\(x\)的取值范围是多少？

分析：我们一般习惯上将 \(x^2+(a-4)x+4-2a\) 看成是关于 \(x\) 的一元二次函数，将 \(a\) 看成系数，若变换视角，将主辅元换位，那么关于\(x\)的二次三项式 \(x^2+(a-4)x+4-2a\) 也可以等价整理成关于 \(a\)的一次二项式 \((x-2)a\)\(+\)\((x^2\)\(-\)\(4x\)\(+\)\(4)\)，从而不等式的左端就可以看成关于\(a\)的一次函数，方便我们的解题。

记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，则由 \(f(a)>0\) 对于任意的 \(a\in[-1,1]\) 恒成立，

只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，

解得\(x<1\)或\(x>3\)，则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

【2017铜川模拟】不等式 \(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\) 对于任意的 \(a，b\in R\) 恒成立，则实数 \(\lambda\) 的取值范围为_______。

分析：由于本题目已知对于任意的 \(a，b\in R\) 恒成立，故我们拿到题目很自然就会想到是两个并列的变量 \(a\) 和 \(b\)，这样思路一般会受到限制，但是如果能将其想成 \(a\) 是主元，将 \(b\) 和 \(\lambda\) 看做系数，这样就是关于 \(a\) 的一元二次不等式恒成立问题，思路自然就开了。

法1：将 \(b\) 和 \(\lambda\) 看做系数，将不等式整理为关于 \(a\) 的一元二次不等式，

即\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立，

则必然有 \(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

法2：变量集中策略，当\(b=0\)时，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；

当\(b\neq 0\)时，原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，

令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立，

则\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

综上所述(两种情况取交集)，实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

求函数\(f(x)=\cfrac{2x^2-x+1}{x^2+x+1}\)的值域。

分析：观察这个分式函数的结构特征，注意到函数的定义域为 \(R\)，将函数转化为以 \(x\) 为未知数的一元二次方程[此时的因变量 \(y\) 看成系数方程的对应系数]，

\[(y-2)x^2+(y+1)x+y-1=0 \]

由于这个函数不是空函数，即这个方程一定是有解的，分类讨论如下：

1\(^{\circ}\). 当\(y=2\)时，此时方程变形为一次方程，简化为\(3x+1=0\)，

解得\(x=-\cfrac{1}{3}\)，故\(y=2\)的值是满足题意的，

2\(^{\circ}\). 当\(y\neq 2\)时，此时方程为二次方程，那么由定义域为\(R\)可知，

这个二次方程在实数范围内一定有解，故\(\Delta \ge 0\)，

即\(\Delta =(y+1)^2-4(y-2)(y-1)\ge 0\)且\(y\neq 2\)，

解得\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，2)\cup(2，[\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。

综上所述，函数的值域为\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。

延申阅读

视角转换；

几何视角下的三角形面积最值问题探究|思维养成；