导函数的原函数族|逆向思维

前言

在高三数学的导数备考中，我们经常碰到的是给定函数，求其导函数的问题，比如，已知函数 \(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(2x\)，则 \(f'(x)\)\(=\)\(3x^2\)\(+\)\(2\)，但偶尔我们也会碰到已知导函数需要求解其原函数的问题，比如已知 \(f'(x)\)\(=\)\(3x^2\) ，则其原函数应该有一族，不止一个函数，比如 \(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(1\)， \(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(-\)\(1\)， \(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(10\)，等等，此时我们经常统一标记为\(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(C\)，再结合题目中的其他条件，就能很容易确定常数 \(C\) 的值。暂举例如下，让各位学子加以体会并模仿学习。

典例剖析

【2022届高三数学二轮习题】 已知定义在 \((1,+\infty)\) 的函数 \(f(x)\)， \(f'(x)\) 为其导函数，满足 \(\cfrac{1}{x}f(x)\)\(+\)\(f'(x)\ln x\)\(+\)\(2x\)\(=\)\(0\)， 且\(f(e)\)\(=\)\(-e^{2}\)， 若不等式 \(f(x)\leqslant ax\) 对 \(x\in(1,+\infty)\)恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围为【\(\qquad\)】

$A.[-e,+\infty)$ $B.(-e,2)$ $C.[e,+\infty)$ $D.(-e^2,2)$

解析：先将 \(\cfrac{1}{x}f(x)\)\(+\)\(f'(x)\ln x\)\(+\)\(2x\)\(=\)\(0\)，变形为 \(\cfrac{1}{x}f(x)\)\(+\)\(f'(x)\ln x\)\(=\)\(-2x\)，

注意到结构 \(\cfrac{1}{x}f(x)\)\(+\)\(f'(x)\ln x\)，令 \(g(x)=f(x)\cdot\ln x\)，

则 \(g'(x)= \cfrac{1}{x}f(x)\)\(+\)\(f'(x)\ln x\)，即 \(g'(x)=-2x\)，

由导函数公式可得， \(g(x)=-x^2+C\)，\(C\) 为常数，即\(g'(x)\)的原函数有无穷多个，他们都相差一个常数，比如\(g(x)=-x^2+1\)，或 \(g(x)=-x^2+2\)，等等；主动想到后边的常数 \(C\)，对高三学生来说，比较困难，但对于学习了大学数学的学生来说是个基本常识；\(\quad\)，

又由于 \(f(e)=-e^{2}\)， 令\(x=e\)，则 \(g(e)=-e^2+C\)，又由于 \(g(e)=f(e)\cdot\ln e=-e^2\)，

即解得 \(C=0\)，故 \(g(e)=-x^2\)，即 \(f(x)\cdot\ln x=-x^2\)，

故 \(f(x)=-\cfrac{x^2}{\ln x}\)；

由不等式 \(f(x)\leqslant ax\) 对 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，分离参数得到，

\(a\geqslant -\cfrac{x}{\ln x}=h(x)\)对 \(x\in(1,+\infty)\) 恒成立，需要求\(h(x)_{\max}\)；

又由于 \(h'(x)=\cfrac{1-\ln x}{(\ln x)^2}\)，

则 \(x\in (1,e)\)时， \(h'(x)>0\)，函数 \(h(x)\) 单调递增， \(x\in (e,+\infty)\)时， \(h'(x)<0\)，函数 \(h(x)\) 单调递减，

故 \(h(x)_{\max}=h(e)=-e\)，即 \(a\geqslant -e\)， 故选 \(A\).

设定义在 \((0,+\infty)\) 上的函数 \(f(x)\) 满足 \(xf'(x)-f(x)=x\ln x\)，\(f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\)，则 \(f(x)\) 【\(\qquad\)】

$A$.有极大值, 无极小值

$B.$有极小值, 无极大值

$C.$既有极大值, 也有极小值

$D.$既无极大值, 也无极小值

解析: 因为 \(xf'(x)-f(x)=x\ln x\)，两边同除以\(x^2\)，

得到 \(\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\cfrac{x\ln x}{x^2}=\cfrac{\ln x}{x}\)，所以\((\cfrac{f(x)}{x})'\)\(=\)\(\cfrac{\ln x}{x}\)此处用到逆向思维，即我们需要知道哪样的函数的导函数为\(\cfrac{\ln x}{x}\)，

则 \(\cfrac{f(x)}{x}=\cfrac{1}{2}\ln^2x+c\)由于\((\cfrac{1}{2}\ln^2x+c)'\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\times\)\(2\)\(\ln x\)\(\times\)\((\ln x)'\)\(=\)\(\cfrac{\ln x}{x}\)，则 \(f(x)=\cfrac{1}{2}x\ln^2x+cx\)，

因为 \(f(\cfrac{1}{e})=\cfrac{1}{2e}\ln^{2}\cfrac{1}{e}+c\times\cfrac{1}{e}=\cfrac{1}{e}\)，所以 \(c=\cfrac{1}{2}\)，

所以 \(f'(x)=\cfrac{1}{2}\ln^{2}x+\ln x+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}(\ln x+1)^{2}\geqslant 0\) ，

所以 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，

所以 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上既无极大值，也无极小值 . 故选 \(D\) .

【2020 \(\cdot\) 衡水中学调研】已知定义在 \((-\infty, 0)\cup(0,+\infty)\) 内的偶函数 \(f(x)\) 满足: 当 \(x>0\) 时, \(xf(x)\)\(+\)\(x^{2}f'(x)\)\(-\)\(1\)\(=\)\(0\)，且 \(f(e)\)\(=\)\(\cfrac{1}{e}\)， 则不等式 \(f(x)\)\(+\)\(\ln4\)\(>0\) 的解集为 【\(\qquad\)】

$A.(-\cfrac{1}{2}, 0)\cup(0,\cfrac{1}{2})$ $B.(-\infty,-\cfrac{1}{2})\cup(\cfrac{1}{2},+\infty)$ $C.(-e, 0)\cup(0,e)$ $D.(-\infty,-e)\cup(e,+\infty)$

解析： 由题可知，当 \(x>0\) 时， \(xf(x)+x^{2}f'(x)-1=0\)， 故 \(f(x)+xf'(x)=\cfrac{1}{x}\)之所以做这样的变形是为了能找到原函数，如果不变形，我们找不到一个函数的导函数为\(xf(x)\)\(+\)\(x^{2}f'(x)\)，

由于 \([xf(x)]'=f(x)+xf'(x)\)，故设 \(g(x)=xf(x)\)，则 \(g'(x)=[xf(x)]'=\cfrac{1}{x}\)，

故可设 \(g(x)=\ln x+c\)， 因为 \(f(e)=\cfrac{1}{e}\)，将 \(x=e\) 代入 \(g(x)=\ln x+c\)

得到，\(g(e)=ef(e)=\ln e+c\)， 即 \(1=1+c\)， 则得到 \(c=0\)，故 \(g(x)=\ln x=xf(x)\)，

故函数 \(f(x)=\cfrac{\ln x}{x}\)， 则 \(f'(x)=\cfrac{1-\ln x}{x^{2}}\)，

所以当 \(x \in(0, e)\) 时， \(f'(x)>0， f(x)\) 单调递增；

当 \(x \in(e,+\infty)\) 时， \(f'(x)<0， f(x)\) 单调递减，

又 \(f(x)\) 为偶函数， \(f(\cfrac{1}{2})=-\ln 4\) 且当 \(x\rightarrow+\infty\) 时， \(f(x)\rightarrow 0\)，

则原不等式 \(f(x)+\ln 4>0\) 变形为 \(f(x)>f(\cfrac{1}{2})\)，由偶函数可得，

\(f(|x|)>f(\cfrac{1}{2})\)，结合图像可得 \(|x|>\cfrac{1}{2}\)，[注意此处不是利用单调性得到，而是利用图像得到的]

解得 \(x>\cfrac{1}{2}\)，或 \(x<-\cfrac{1}{2}\)，

所以不等式 \(f(x)+\ln 4>0\) 的解集为 \((-\infty,-\cfrac{1}{2}) \cup(\cfrac{1}{2},+\infty)\)，故选 \(B\) 。

【2022届高三数学二轮习题】 函数 \(f(x)\) 是定义在 \((1,+\infty)\) 上的可导函数， \(f'(x)\) 为其导函数， 若 \(f(x)+(x-1) f'(x)=x^{2}(x\) \(-2)\)， 且 \(f(e^{2})=0\)， 则不等式 \(f(e^{x})<0\) 的解集为_________ .

解析： 函数 \(f(x)\) 是定义在 \((1,+\infty)\) 上的可导函数，\(f'(x)\) 为其导函数，

令 \(\phi(x)=(x-1)\cdot f(x)\)， 则 \(\phi'(x)=(x-1)\cdot f'(x)+f(x)=x^{2}(x-2)\)此处是利用 \(\phi'(x)\) 对应的函数 \(x^2(x-2)\) 的图像来判断 \(\phi'(x)\) 的正负，从而判断 \(\phi(x)\) 的增与减，从而能做出函数 \(\phi(x)\) 的图像，

可知当 \(x\in(1,2)\) 时，\(\phi(x)\) 是减函数， 并且 \(\phi(1)=0\)，

当 \(x\in(2,+\infty)\) 时， \(\phi(x)\) 是增函数， 因为 \(f(e^{2})=0\)，故 \(\phi(e^{2})=(e^{2}-1) \cdot f(e^{2})=0\)，

又由于当 \(x>1\) 时， \(f(e^{x})<0\) 等价于 \((x-1)\cdot f(x)<0\)，即 \(\phi(x)<0\)，结合函数 \(\phi(x)\) 的图像，

故不等式 \(f(e^{x})<0\) 的解集就是 \(\phi(e^{x})<0\) 的解集，即 \(1<e^{x}<e^{2}\) 的解集，解得\(0<x<2\) .

故不等式的解集为 \(\{x|0<x<2\}\) .