圆锥曲线题目中的运算训练
在高中的教学实际中，涉及到圆锥曲线的定值、定点等问题的运算，难度都是相当高的，更不用说在初次接触题目时，我们对其运算的方向都可能是模糊不清的。本博文旨在重点练习与之相关的运算，探讨如何突破难点运算；
前言
在高中的教学实际中，涉及到圆锥曲线的定值、定点等问题的运算，难度都是相当高的，更不用说在初次接触题目时，我们对其运算的方向都可能是模糊不清的。不过本博文旨在重点练习与之相关的运算，探讨如何突破难点运算；
运算案例
【2017宝鸡中学高三理科第一次月考第22题】已知右焦点为\(F\)的椭圆\(M：\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{3}=1(a>\sqrt{3})\)与直线\(y=\cfrac{3}{\sqrt{7}}\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(PF\perp QF\)。
(1). 求椭圆\(M\)的方程。（略）
(2). \(O\)为坐标原点，\(A\)、\(B\)、\(C\)是椭圆\(M\)上不同三点，并且\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，试探究\(\Delta ABC\)的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由。
解析： (有斜率时)设直线 \(AB\) 的方程为 \(y=kx+m\)，即\(kx-y+m=0\)，
代入椭圆方程 \(3x^{2}+4y^{2}=12\)，
可得 \((3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}-12=0\)，
设\(A(x_{1}, y_{1})\)， \(B(x_{2}, y_{2})\)，则\(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)\)，
由韦达定理得到，则 \(x_{1}x_{2}=\cfrac{4m^{2}-12}{3+4k^{2}}\)， \(x_{1}+x_{2}=-\cfrac{8km}{3+4k^{2}}\)，
\(y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+2m=\cfrac{6m}{3+4k^{2}}\)，
由 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 的重心， 则\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
可得 \(\overrightarrow{OC}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，又由于\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)，
故有\(\overrightarrow{OC}=(\cfrac{8km}{3+4k^{2}},-\cfrac{6m}{3+4k^{2}})\)，即点\(C(\cfrac{8km}{3+4k^{2}},-\cfrac{6m}{3+4k^{2}})\)
由于点\(C\)在椭圆上， 则有 \(3(\cfrac{8km}{3+4k^{2}})^{2}+4(-\cfrac{6m}{3+4k^{2}})^{2}=12\)，
化简上式，可得 4\(m^{2}=3+4k^{2}\)，
又由弦长公式可得，\(|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(-\cfrac{8km}{3+4k^{2}})^{2}-4\cdot\cfrac{4m^{2}-12}{3+4 k^{2}}}\)
\(=\cfrac{4 \sqrt{1+k^{2}}}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\)
再者，由点\(C\) 到直线 \(AB\) 的距离 \(d=\cfrac{|kx_{_C}+m-y_{_C}|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{\left|k\cdot \cfrac{8km}{3+4k^{2}}+m-(-\cfrac{6m}{3+4k^{2}})\right|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\cfrac{|3m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)，
\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}|AB| \cdot d=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{4\sqrt{1+k^{2}}}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\cdot \cfrac{|3m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{6|m|}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\)\(=\cfrac{6|m|}{4m^{2}}\cdot\sqrt{12m^{2}-3m^{2}}\)
\(=\cfrac{6|m|}{4m^{2}}\cdot |3m|=\cfrac{9}{2}\)，
当直线 \(AB\) 的斜率不存在时，要满足条件\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，
则直线为 \(x=-1\)，此时\(A(-1,\cfrac{3}{2})\)，\(B(-1,-\cfrac{3}{2})\)，\(C(2,0)\)，
故 \(|AB|=3\)， \(d=2+1=3\)， \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}|AB|\cdot d=\cfrac{9}{2}\).
综上可得， \(\triangle ABC\) 的面积为定值 \(\cfrac{9}{2}\).
运算片段
化简过程：\(3x^2+4(kx+m)^2=12\)，
即\(3x^2+4(k^2x^2+2kxm+m^2)-12=0\)，
即\(3x^2+4k^2x^2+8kxm + 4m^2- 12=0\)，
即 \((3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}-12=0\)；
化简过程：\(3\cdot\cfrac{64k^2m^2}{(3+4k^{2})^2}+4\cdot \cfrac{36m^2}{(3+4k^{2})^2}=12\)
即\(3\cdot 64k^2m^2+4\cdot 36m^2=12(3+4k^2)^2\)
即\(16k^2m^2+12m^2=(3+4k^2)^2\)
即\(4m^2(4k^2+3)=(3+4k^2)^2\)
化简，可得 \(4m^{2}=3+4k^{2}\)，
化简过程：上式\(=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(-\cfrac{8km}{3+4k^{2}})^{2}-4\cdot\cfrac{4m^{2}-12}{3+4 k^{2}}}\)
\(=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{\cfrac{64k^2m^2}{(3+4k^{2})^2}-\cfrac{4(4m^{2}-12)(3+4k^2)}{(3+4k^{2})^2}}\)
\(=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{\cfrac{64k^2m^2-4(12m^2+16k^2m^2-36-48k^2)}{(3+4k^2)^2}}\)
\(=\cfrac{\sqrt{1+k^2}}{3+4k^2}\sqrt{-48m^2+4\times36+48\times4k^2}\)
\(=\cfrac{\sqrt{1+k^2}}{3+4k^2}\sqrt{-3\times 16 m^2+4\times4\times9+4\times4\times3\times4k^2}\)
\(=\cfrac{4\sqrt{1+k^{2}}}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\)
点线距公式：\(d=\cfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
则点\(C\) 到直线 \(AB\) 的距离\(d=\cfrac{|kx_{_C}+m-y_{_C}|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{\left|k\cdot \cfrac{8km}{3+4k^{2}}+m-(-\cfrac{6m}{3+4k^{2}})\right|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{\left|\cfrac{8k^2m}{3+4k^{2}}+\cfrac{3m+4k^{2}m}{3+4k^{2}}+\cfrac{6m}{3+4k^{2}}\right|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{\cfrac{|12k^2m+9m|}{3+4k^{2}}}{\sqrt{1+k^2}}=\cfrac{\cfrac{|3m|(3+4k^{2})}{3+4k^{2}}}{\sqrt{1+k^2}}\)
\(=\cfrac{|3m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)，
由前面可知， \(4m^{2}=3+4k^{2}\)，故\(9+12k^2=12m^2\)，
故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}|AB| \cdot d\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{4\sqrt{1+k^{2}}}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\cdot \cfrac{|3m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)
\(=\cfrac{6|m|}{3+4k^{2}}\cdot\sqrt{9+12k^{2}-3m^{2}}\)\(=\cfrac{6|m|}{4m^{2}}\cdot\sqrt{12m^{2}-3m^{2}}\)
\(=\cfrac{6|m|}{4m^{2}}\cdot \sqrt{9m^2}=\cfrac{6|m|}{4m^{2}}\cdot |3m|=\cfrac{9}{2}\)，
思维沉淀
如上例，探究\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times |AB|\times d\)是否为定值，可能\(|AB|=f(m,k)\)，或\(d=g(m,k)\)，一开始别太担心引入的参数多，由题目中的某个条件，往往就能将其中的一个参数转化为用另一个参数表达，如本题中，\(4m^2=3+4k^2\)，这样，就可以将上述的\(|AB|=f(m,k)=h(m)\)，\(d=g(m,k)=l(m)\)，最后\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times h(m)\times l(m)\)，而由于乘法和分式的共同作用，导致包含参数的部分就整体约分，从而没有参数 \(m\)，这样整个结果就是个定值了。
当提炼出上述的思路模型，相应的我们对自己的运算也就有信心了。
新年快乐！
