等差与等比数列综合

前言

典例剖析

【2021届高三文科月考四用题】 已知 \(\{a_{n}\}\) 是等差数列， \(\{b_{n}\}\) 是各项都为正数的等比数列， \(a_{1}=b_{2}=1\)， 再从条件①、②、③这三个条件中选择两个作为已知条件，条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\)，条件②：\(b_{2}b_{4}=4\)， 条件③： \(b_{4}=a_{5}\)；

(1). 求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式.

(2). 求数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和.

解析：[第一种选择]，选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\)，和条件②：$ b_{2} b_{4}=4$，

(1). 设 \(\{a_{n}\}\) 的公差为 \(d\)， 由题意可得 \(a_{1}=1\)，\((a_{1}+d)+(a_{1}+3 d)=10\)，

解得 \(a_{1}=1\)， \(d=2\)， 则 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1\)， \(n\in N^{*}\).

(2). 设 \(\{b_{n}\}\) 的公比为 \(q(q>0)\)， 由题意可得 \(b_{2}=1\)，\(b_{4}=4\)，

则 \(q^{2}=\cfrac{b_{4}}{b_{2}}=4\)， 解得 \(q=2\)， \(b_{1}=\cfrac{1}{2}\)，

所以数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(\cfrac{\frac{1}{2}(1-2^{n})}{1-2}=2^{n-1}-\cfrac{1}{2}\).

[第二种选择]：若选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\)，条件③： \(b_{4}=a_{5}\)；

则 (1).简解得到\(a_1=1\)，\(d=2\)，则 \(a_n=2n-1\)；

(2). 简解得到，\(b_1=\cfrac{1}{3}\)，\(q=3\)，则 \(S_n=\cfrac{1}{6}(3^n-1)\)；

[第三种选择]：若选择条件②：\(b_{2}b_{4}=4\)，条件③： \(b_{4}=a_{5}\)；

则 (1). 由\(b_2=1\)以及\(b_{2}b_{4}=4\)，得到\(b_4=4\) 且 \(q=2\)，则\(a_5=b_4=4\)，

故\(d=\cfrac{a_5-a_1}{5-1}=\cfrac{3}{4}\)，则得到 \(a_n=\cfrac{3}{4}n+\cfrac{1}{4}\)；

(2). 由 \(q=2\)且\(b_2=1\) ，得到\(b_1=\cfrac{1}{2}\)，简解得到 \(S_n=\cfrac{1}{2}(2^n-1)\)；