鳖臑还原长方体

前言

鳖臑(bi\(\bar{e}\)n\(\grave{a}\)o)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼。在涉及鳖臑的命题中常常需要将其还原为长方体。

如图所示，三棱锥 \(A-BCD\) 是一个鳖臑，其中\(\triangle ABC\)、\(\triangle ABD\)、\(\triangle BCD\)、\(\triangle ACD\)都是\(Rt\triangle\)，\(\angle ABC\)、\(\angle ABD\)、\(\angle DCB\)、\(\angle DCA\)都是直角，其中的三条关键线段\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)[图中的红色部分线段]两两垂直[或相交垂直就，或异面垂直]；

还原过程

作图方法：在平面\(ABC\)内，过点\(A\)做直线\(AE//BC\)，过点\(C\)做直线\(CE//BA\)，与\(AE\)相交于点\(E\)，

在平面\(BCD\)内，过点\(D\)做直线\(DH//CB\)，过点\(B\)做直线\(BH//CD\)，与\(DH\)相交于点\(H\)，

过点 \(D\) 做 \(DF//CE\)，过点 \(E\) 做 \(EF//CD\) 交直线 \(DF\) 于点 \(F\)，

过点 \(H\) 做 \(HG//AB\)，过点 \(A\) 做 \(AG//BH\) 交直线 \(HG\) 于点 \(G\)，联结\(GF\)，

则得到的六面体\(BHDC-AGFE\)为长方体；其中线段 \(AD\) 为其体对角线；

此时如果做长方体的外接球，则线段 \(AD\) 为外接球的直径；

典例剖析

【2021届高三文科数学月考四第8题】鳖臑(bi\(\bar{e}\)n\(\grave{a}\)o)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼。已知三棱锥 \(A-BCD\) 是一个鳖臑，其中\(AB\perp BC\)，\(AB\perp BD\)，\(BC\perp CD\)，且\(AB=6\)，\(BC=3\)，\(DC=2\)，则三棱锥\(A-BCD\)的外接球的体积是【\(\quad\)】

$A.\cfrac{49\pi}{3}$ $B.\cfrac{343\pi}{2}$ $C.49\pi$ $D.\cfrac{343\pi}{6}$

解析：由\(AB\perp BC\)，\(AB\perp BD\)，且\(BC\cap BD=B\)，可得 \(AB\perp\) 平面 \(BCD\)，

则 \(AB\perp CD\)，又\(BC\perp CD\)， 且 \(AB\cap BC=B\)， 故 \(CD\perp AC\)，

则 \(AD\) 为三棱锥\(A-BCD\)的外接球直径，[具体还原过程参照上述过程]；

由于 \(AB=6\)， \(BC=3\)， \(DC=2\)， 故\(AD=\sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}}=7\)，

则三棱锥 \(A-BCD\) 的外接球的半径为\(R=\cfrac{7}{2}\).

故三棱锥 \(A-BCD\) 的外接球的体积\(V=\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{4}{3}\pi (\cfrac{7}{2})^3=\cfrac{343\pi}{6}\)，故选\(D\).