2020年全国卷Ⅱ卷理科数学选填题解析版
2020年全国卷Ⅱ卷理科数学选填题解析版
选择题
分析：由题意，第二天新增订单数为\(500+1600-1200=900\)，设需要志愿者\(x\)名，
则由\(\cfrac{50x}{900}\geqslant 0.95\)，解得\(x\geqslant 17.1\)，
故需要志愿者\(18\)名。故选：\(B\)。
分析：由于圆上的点\((2，1)\)在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 \((a, a)\)，则圆的半径为 \(a\)，圆的标准方程为 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}\)，
由题意可得 \((2-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2}\)，可得 \(a^{2}-6a+5=0\)，解得 \(a=1\) 或 \(a=5\)，
所以圆心的坐标为\((1,1)\) 或 \((5,5)\)；
圆心 \((1,1)\) 到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离均为 \(d_{1}=\cfrac{|2 \times 1-1-3|}{\sqrt{5}}=\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
圆心 \((5,5)\) 到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离均为 \(d_{2}=\cfrac{|2 \times 5-5-3|}{\sqrt{5}}=\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
则圆心到直线 \(2 x-y-3=0\) 的距离为 \(\cfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)，故选：\(B\).
分析：由于\(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)，则双曲线的渐近线方程是 \(y=\pm \cfrac{b}{a} x\)，
直线 \(x=a\) 与双曲线 \(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的两条渐近线分别交于 \(D\)， \(E\) 两点，
不妨设点\(D\)在第一象限，点\(E\)在第四象限，
联立 \(\left\{\begin{array}{ll}x=a & \\ y=\cfrac{b}{a}x\end{array}\right.\)，故解得 \(\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=b\end{array}\right.\)；
联立 \(\left\{\begin{array}{ll}x=a & \\ y=-\cfrac{b}{a} x \end{array}\right.\)， 解得\(\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=-b\end{array}\right.\)；
则\(|ED|=2b\)，故\(\Delta ODE\) 面积为 \(: S_{\triangle ODE}=\cfrac{1}{2} a \times 2b=ab=8\)，
又由于\(C: \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)，
故其焦距为 \(2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{16}=8\)，
当且仅当 \(a=b=2 \sqrt{2}\) 取等号， 故\(C\) 的焦距的最小值为\(8\)，则选 \(B\).
分析：根据球 \(O\)的表面积和 \(\triangle ABC\) 的面积，可求得球 \(O\) 的半径 \(R\) 和 \(\triangle ABC\) 外接圆半径 \(r\)，由球的性质可知所求距离 \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}\)；
解：设球 \(O\) 的半径为 \(R\)， 则 \(4 \pi R^{2}=16 \pi\)， 解得 \(R=2\)，
设 \(\triangle ABC\) 外接圆半径为 \(r\)， 边长为 \(a\)，
由于\(\triangle ABC\) 是面积为 \(\cfrac{9 \sqrt{3}}{4}\) 的等边三角形，
故\(\cfrac{1}{2} a^{2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{9 \sqrt{3}}{4}\)，
解得 \(a=3\)，所以\(r=\cfrac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\cfrac{a^{2}}{4}}=\cfrac{2}{3} \times \sqrt{9-\cfrac{9}{4}}=\sqrt{3}\)，
所以球心 \(O\) 到平面 \(ABC\) 的距离 \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1\)，故选：\(C\).
分析：要顺利解答本题目，需要先将原不等式作等价转化，\(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}\)，
这样我们就能看到上述不等式的两端，是同结构的，故想到构造函数，
解析：令\(f(t)=2^t-3^{-t}\)，则\(t\in R\)，且\(f(t)\)在\(t\in R\)上单调递增\(y\)\(=\)\(2^t\)为增函数，\(y\)\(=\)\(-3^{-t}\)为增函数，增+增=增，故\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)\(-\)\(3^{-t}\)为增函数。单调性的给出方式，
故原不等式等价于\(f(x)<f(y)\)，由\(f(t)\)单调递增，得到\(x<y\)，
故\(y-x>0\)，\(y-x+1>1\)，则\(ln(y-x+1)>0\)；故选\(A\)；
填空题
\(p_{1}\)：两两相交且不过同一点的三条直线两两相交的三条直线的交点个数要么只有一个，要么只有三个，没有只有两个交点的情形；当只有一个交点时，三条直线交于一点，此三条直线要么共面，要么不共面；当交点只有三个时，此三条直线必然共面；\(\quad\)必在同一平面内；
\(p_{2}\)：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
\(p_{3}\)：若空间两条直线不相交，贝这两条直线平行；
\(p_{4}\)：若直线 \(l\subset\)平面 \(\alpha\)，直线 \(m \perp\) 平面 \(\alpha\)，则 \(m \perp l\)；
则下述命题中所有真命题的序号是___________.
①\(p_1\land p_4\)；\(\quad\) ②\(p_1\land p_2\)；\(\quad\) ③\(\neg p_2\vee p_3\)；\(\quad\) ④\(\neg p_3\vee \neg p_4\)；
详解：对于命题 \(p_{1}\)， 可设 \(l_{1}\) 与 \(l_{2}\) 相交，这两条直线确定的平面为 \(\alpha\)，如图所示，
若\(l_{3}\) 与 \(l_{1}\) 相交，则交点 \(A\) 在平面 \(\alpha\) 内；同理，\(l_{3}\) 与 \(l_{2}\) 的交点 \(B\) 也在平面 \(\alpha\) 内；
所以， \(AB\subsetneqq\alpha\)，即 \(l_{3}\subsetneqq\alpha\)，命题 \(p_{1}\) 为真命题；
对于命题 \(p_{2}\)，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题 \(p_{2}\) 为假命题；
对于命题 \(p_{3}\) ，空间中任意两条直线的位置关系有三种：相交、平行或异面，故命题 \(p_{3}\) 为假命题；
对于命题 \(p_{4}\)，若直线 \(m\perp\) 平面 \(\alpha\)，则 \(m\) 垂直于平面 \(\alpha\) 内所有直线，即命题 \(p_{4}\) 为真命题；
综上可知， \(p_{1}\)，\(p_{4}\) 为真命题，\(p_{2}\)，\(p_{3}\)为假命题；\(p_{1}\wedge p_{4}\)为真命题，\(p_{1}\wedge p_{2}\) 为假命题；\(\neg p_{2}\vee p_{3}\)为真命题， \(\neg p_{3}\vee\neg p_{4}\)为真命题；
故答案为: ①③④.
引申：常用逻辑用语习题
