思维训练|一道初中动态问题的初高中解法对照

前言

下述题目是初三的一道数学题目；

案例

如图，在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB=3\)，\(AD=4\)，\(P\)是\(AD\)上的动点，\(PE\perp AC\)于点\(E\)，\(PF\perp BD\)于点\(F\)，则\(PE\)+\(PF\)的值为【\(\quad\)】

$A.\cfrac{12}{5}$ $B.2$ $C.\cfrac{5}{2}$ $D.1$

法1：用动态的观点处理问题，初中或高中解法，特殊位置法，此种思路的优越性，类似于将两个变量集中为一个变量；

解析：当点\(P\)在线段\(AD\)上运动时，线段 \(PE\) 和 \(PF\)是变化的，但结合选项可知，和为定值；

故可利用特殊位置，如点 \(P\) 移动到线段 \(AD\) 的端点\(A\)[移动到点 \(D\)时类比求解]时，来计算所求的线段和；

由于\(AB=3\)，\(AD=4\)，则\(BD=5\)，由等面积法可知，\(\cfrac{1}{2}\times 3\times 4=\cfrac{1}{2}\times 5\times PF\)，

求得\(PF=\cfrac{12}{5}\)，此时\(PE=0\)，故\(PE+PF=\cfrac{12}{5}\)；故选\(A\)；

法2：用动态的观点处理问题，初中或高中解法，特殊位置法，此种思路的优越性，类似于让两个变量相等；

解析：当点 \(P\) 为线段 \(AD\)的中点时，容易知道\(OP\perp AD\)，

且\(OP=\cfrac{3}{2}\)，\(AP=2\)，\(OA=\cfrac{5}{2}\)，\(PE=PF\)，

由等面积法可知，\(\cfrac{1}{2}\times OP\times AP=\cfrac{1}{2}\times OA\times PE\)，解得\(PE=\cfrac{6}{5}\)

故\(PE+PF=2PE=\cfrac{12}{5}\)； 故选\(A\)；

法3：用初中平面几何知识求解，运用全等和对称等方法，将折线的长度整合为线段的长度[曲化直]；

解析：延长 \(FP\) 到\(E'\)，过点 \(A\) 做\(AE'\perp FP\)，垂足为\(E'\)，

则由于\(AE'//BD\)，\(\angle E'AP=\angle ADB=\angle DAE\)，又\(AP\)公用，故\(Rt\angle AE'P\cong Rt\angle AEP\)，

故\(PE=PE'\)，从而问题转化为求 \(E'F\)的长度；又\(E'F=AM\)，而\(AM=\cfrac{12}{5}\)，

故\(PE+PF=E'F=AM=\cfrac{12}{5}\)； 故选\(A\)；

法4：用高中解析几何求解问题，

解析：首先建系，建立如图所示的平面直角坐标系，则 点\(A(-2,1.5)\)，点\(D(2,1.5)\)，

由于点\(P\)在线段\(AD\)上运动，故设\(P(x_0,\frac{3}{2})\)，则\(-2\leqslant x_0\leqslant 2\)，

直线\(AC: y=-\cfrac{3}{4}x\)，即\(3x+4y=0\)，直线\(AC: y=\cfrac{3}{4}x\)，即\(3x-4y=0\)，

则点 \(P(x_0,\frac{3}{2})\) 到 直线\(AC\)的距离为\(PE=\cfrac{|3x_0+6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\cfrac{|3x_0+6|}{5}\)，

点 \(P(x_0,\frac{3}{2})\) 到 直线\(BD\)的距离为\(PF=\cfrac{|3x_0-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\cfrac{|3x_0-6|}{5}\)，

又由于 \(-6\leqslant 3x_0\leqslant 6\)，故\(0\leqslant 3x_0+6\leqslant 12\)，\(-12\leqslant 3x_0-6\leqslant 0\)，

故\(PE+PF=\cfrac{|3x_0+6|}{5}+\cfrac{|3x_0-6|}{5}=\cfrac{(3x_0+6)-(3x_0-6)}{5}=\cfrac{12}{5}\)；