三角函数中角的拆分与整合

前言

三角函数中角的拆分与整合，是个技术活；

为何拆+整

在求解三角函数问题时，常常需要对题目中给定的角进行拆分与整合，如果不做拆分和整合工作，也许能做出问题的答案，但是有些问题会非常麻烦，还有角的拆分和整合技巧，也能体现我们的数学素养的高低和思维的灵活性，尤其在充分恰当的利用已知条件上，体现的淋漓尽致；

已知 \(\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{15}{17}\)， \(\alpha\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{5\pi}{6})\)， 则 \(\sin\alpha\) 的值为 【\(\quad\)】

$A.\cfrac{8}{17}$ $B.\cfrac{15 \sqrt{3}+8}{34}$ $C.\cfrac{15-8 \sqrt{3}}{34}$ $D.\cfrac{15+8 \sqrt{3}}{34}$

法1：不做拆分与整合工作的解法；

将 \(\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{15}{17}\)打开整理，即\(\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}\)，

则联立平方关系，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}}\\{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)

接下来，转化为关于\(\sin\alpha\)的二次方程求解即可，思路很清晰，但是运算确实比较难；我算到一半就放弃了；

法2： 采用拆分与整合工作的解法；

因为 \(\alpha\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{5\pi}{6})\)，所以 \(\alpha-\cfrac{\pi}{3} \in(\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{\pi}{2})\) 是锐角，\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})>0\)，

\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\sqrt{1-(\cfrac{15}{17})^{2}}=\cfrac{8}{17}\)，

所以 \(\sin\alpha=\sin\left[(\alpha-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{3}\right]\)将待求角拆分为已知角和特殊角之和，能有效的利用已知条件和已知数据，降低运算和思维的难度。\(\quad\).

\(=\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\cos\cfrac{\pi}{3}+\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\sin \cfrac{\pi}{3}\)

\(=\cfrac{15}{17}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{8}{17}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{15+8\sqrt{3}}{34}\)， 故选 \(D\).

反思总结：两相比较，你自然就能理解为什么要学习角的拆分和整合了；

何时拆+整

• 三角函数化简时需要用到拆分与整合；

化简：\(\sqrt{2+2cos8}+2\sqrt{1-sin8}\)

分析：如果你能注意到\(8=2\times 4\)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，

原式\(=\sqrt{2}\sqrt{1+cos8}+2\sqrt{1-sin8}\)

\(=\sqrt{2}\sqrt{2cos^24}+2\sqrt{sin^24+cos^24-2sin4\cdot cos4}\)

\(=2|cos4|+2\sqrt{(sin4-cos4)^2}\)

\(=2|cos4|+2|sin4-cos4|\)

\(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4\)

反思总结：\(4rad\approx 229^{\circ}\)，终边在第三象限的后半段，此时\(cos4>sin4\)。

• 三角函数求值时需要用到拆分与整合；

化简求值：\(\cfrac{sin47^{\circ}-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)

分析：\(\cfrac{sin47^{\circ}-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)

\(=\cfrac{sin(30^{\circ}+17^{\circ})-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)

\(=\cfrac{sin30^{\circ}cos17^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)

\(=\sin30^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)。

【2017枣庄模拟】设\(\alpha\)为锐角，\(cos(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{4}{5}\)，求\(sin(2\alpha+\cfrac{\pi}{12})\)的值；

分析：注意到已知角为一个\(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\)，未知角也是一个\(2\alpha+\cfrac{\pi}{12}\)，

故二者之间的联系可能是从余、补、半、倍、特的角度建立联系，

故将已知角二倍得到\(2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=2\alpha+\cfrac{\pi}{3}\)，发现还是和未知角不一样，故做差就发现，

\[2\alpha+\cfrac{\pi}{12}=2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{4} \]

故\(sin(2\alpha+\cfrac{\pi}{12})=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{4}]\)

\(=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]cos\cfrac{\pi}{4}-cos[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]sin\cfrac{\pi}{4}\)

\(=2sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos\cfrac{\pi}{4}-[2cos^2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-1]sin\cfrac{\pi}{4}\)

\(=\cdots=\cfrac{17\sqrt{2}}{50}\).

备注说明：复杂一些的题目可能需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某两个以上的角度才可以求解；

• 三角函数证明时需要用到拆分与整合；

配套习题待补充；

常见情形

• 常见的角的拆分：将非特殊角尽可能拆分为含有特殊角的部分；

\(47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}\)；\(8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}\)；

• 常见的互余+互补+倍角+半角， 力求掌握常见的配角技巧；

初中我们需要掌握的互余关系：\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)；

互补关系：\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2\pi}{3}=\pi\)，\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2\pi}{3}=\pi\)，

以上这些都是静态的角之间的关系，而高中更多的考察的是动态的角之间的关系：

\((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；

\((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{3\pi}{4}-\theta)=\pi\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{2\pi}{3}-\theta)=\pi\)；

\(2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})\)；

\((75^{\circ}+\theta)+(15^{\circ}-\theta)=90^{\circ}\)；\((75^{\circ}-\theta)+(15^{\circ}+\theta)=90^{\circ}\)；

\(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)\)；

\(3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；

\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\(\beta=\alpha-(\alpha-\beta)\)；

\(\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；\(\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；

\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\((\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；

\((\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi\)；

\(\theta+\cfrac{\pi}{6}=(\theta-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{\pi}{3}\)；\(\theta-\cfrac{\pi}{6}=(\theta+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{3}\)；

\((\theta+\cfrac{5\pi}{6})+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\pi\)；\((\cfrac{2\pi}{3}-\theta)-(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；

技巧引申

其实在三角函数中，有关函数的拆分与整合，也是我们需要注意积累的；比如以下：

\(1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)

\(1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)

【2022届高三数学三轮模拟冲刺用题】已知 \(\alpha\) ， \(\beta\)均为锐角，且 \(\alpha+\beta\neq\cfrac{\pi}{2}\)，若\(\sin(2\alpha+\beta)=\cfrac{3}{2}\sin\beta\)，则 \(\cfrac{\tan(\alpha+\beta)}{\tan\alpha}\)=________.

解析：由题目可知， \(2\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]=3\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]\)，

则 \(\sin(\alpha+\beta)\cdot\cos\alpha=5\cos(\alpha+\beta)\cdot\sin\alpha\)，

即 \(\tan(\alpha+\beta)=5\tan\alpha\)，故 \(\cfrac{\tan(\alpha+\beta)}{\tan\alpha}=5\)。