辅助角公式中系数含参|题型

前言

使用辅助角公式中容易产生一个误区，就是忽视辅助角的存在，常常会引起失误。

参数求解

已知函数 \(f(x)=a\sin x+\cos x\) (\(a\) 为常数， \(x \in R\)) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{6}\) 对称，则函数 \(g(x)\)\(=\)\(\sin x\)\(+\)\(a\cos x\) 的图象【\(\qquad\)】

$A.$关于点$(\cfrac{\pi}{3}, 0)$对称

$B.$关于点$(\cfrac{2\pi}{3}, 0)$对称

$C.$关于直线$x=\cfrac{\pi}{3}$对称

$D.$关于直线$x=\cfrac{\pi}{6}$对称

分析：本题目实质是利用给定条件给出参数\(a\)的值，然后分析求解正弦型函数的各种性质；

法1：[常规解法]： 由于\(f(x)=a\sin x+\cos x=\sqrt{a^2+1}\sin(x+\phi)\)，其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，

又由于函数\(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{6}\) 对称，即\(\cfrac{\pi}{6}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，

则\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\)，\(k\in Z\)，此处由于只强调辅助角\(\phi\)的存在性，故赋值如下，

令\(k=0\)，则\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\)，故有\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}=\tan\cfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)，即\(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

所以 \(g(x)=\sin x+\cfrac{\sqrt{3}}{3} \cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)，

[此处用求解法]函数\(g(x)\) 的对称轴方程为 \(x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\)，\(k \in Z\)，

当 \(k=0\) 时，对称轴为直线 \(x=\cfrac{\pi}{3}\). 故选 \(C\).

法2[简单解法]: 因为函数 \(f(x)=a\sin x+\cos x\) (\(a\) 为常数， \(x \in R\)) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{6}\) 对称，

则利用对称性，可知 \(f(0)=f(\cfrac{\pi}{3})\)， 即\(1=\cfrac{\sqrt{3}}{2}a+\cfrac{1}{2}\)，

所以 \(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，所以 \(g(x)=\sin x+\cfrac{\sqrt{3}}{3} \cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)，

函数\(g(x)\) 的对称轴方程为 \(x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\)，\(k \in Z\)，

当 \(k=0\) 时，对称轴为直线 \(x=\cfrac{\pi}{3}\). 故选 \(C\).

【多项选择题】【自编对照】已知函数 \(f(x)=a\sin x+\cos x\) (\(a\) 为常数， \(x \in R\)) 的图象关于关于点\((\cfrac{\pi}{3}, 0)\)对称，则函数 \(g(x)\)\(=\)\(\sin x\)\(+\)\(a\cos x\) 的图象【\(\qquad\)】

$A.$关于点$(\cfrac{\pi}{6}, 0)$对称

$B.$关于点$(\cfrac{\pi}{3}, 0)$对称

$C.$关于直线$x=\cfrac{2\pi}{3}$对称

$D.$关于直线$x=-\cfrac{\pi}{3}$对称

法1：[常规解法]： 由于\(f(x)=a\sin x+\cos x=\sqrt{a^2+1}\sin(x+\phi)\)，其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，

又由于函数\(f(x)\) 的图象关于点\((\cfrac{\pi}{3}, 0)\)对称，即\(\cfrac{\pi}{3}+\phi=k\pi\)，\(k\in Z\)，

则\(\phi=k\pi-\cfrac{\pi}{3}\)，\(k\in Z\)，此处由于只强调辅助角\(\phi\)的存在性，故赋值如下，

令\(k=0\)，则\(\phi=-\cfrac{\pi}{3}\)，故有\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，即\(\tan(-\cfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)，即\(a=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

所以 \(g(x)=\sin x-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x-\cfrac{\pi}{6})\)，

[此处用验证法]，对于选项\(A\)，当\(x=\cfrac{\pi}{6}\)时，\(g(\cfrac{\pi}{6})=0\)，故选项\(A\)正确；

对于选项\(B\)，当\(x=\cfrac{\pi}{3}\)时，\(g(\cfrac{\pi}{3})\neq 0\)，故选项\(B\)错误；

对于选项\(C\)，当\(x=\cfrac{2\pi}{3}\)时，\(g(\cfrac{2\pi}{3})=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，取到最大值，故选项\(C\)正确；

对于选项\(D\)，当\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时，\(g(\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，取到最小值，故选项\(D\)正确；

综上所述，应该选择选项\(A\)，\(C\)，\(D\)；

【2019\(\cdot\)湖南十四校联考】已知函数 \(f(x)=2\sin\omega x-\cos\omega x(\omega>0)\)，若 \(f(x)\) 的两个零点 \(x_{1}\)，\(x_{2}\) 满足 \(|x_{1}\)\(-\)\(x_{2}|_{\min }\)\(=\)\(2\)，则 \(f(1)\) 的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{\sqrt{10}}{2}$ $B.-\cfrac{\sqrt{10}}{2}$ $C.2$ $D.-2$

法1: [常规解法]，先将\(f(x)=2\sin\omega x-\cos\omega x=\sqrt{5}\sin(\omega x-\phi)\)，其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\)，

此题目的难点是对数学符号\(|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)的理解，依题意可得\(\cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)，

故函数的最小正周期\(T=2\times 2=4\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{2}\)，

故解析式为\(f(x)=\sqrt{5}\sin(\cfrac{\pi}{2} x-\phi)\)

故\(f(1)=\sqrt{5}\sin(\cfrac{\pi}{2}-\phi)=\sqrt{5}\cos\phi\)，

[题目到此转化为已知\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\)，求\(\sqrt{5}\cos\phi\)的值的问题，这样就转化为常规问题了]，

由于\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\)，故令\(\sin\phi=k\)，\(\cos\phi=2k\)(\(k>0\))，

则由\(k^2+4k^2=1\)，解得\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)(舍去负值)，故\(\cos\phi=2k=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，

故\(f(1)=\sqrt{5}\cos\phi=\sqrt{5}\times \cfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\).

法2: [简单解法]此题目的难点是对数学符号\(|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)的理解，

依题意可得\(\cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)，

故函数的最小正周期\(T=2\times 2=4\)，则\(\omega=\cfrac{\pi}{2}\)，

所以 \(f(1)=2\sin\cfrac{\pi}{2}-\cos\cfrac{\pi}{2}=2\)；

【2020·河北“五个一”名校联考】函数 \(f(x)\) \(=\) \(3\sin x\) \(+\) \(4\cos x\)，若直线 \(x=\theta\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的一条对称轴，则\(\cos 2\theta\)\(+\)\(\sin\theta\)\(\cos\theta=\)________.

解法1： 因为 \(f(x)\)\(=\)\(3\sin x\)\(+\)\(4\cos x\)\(=\)\(5\left(\dfrac{3}{5}\sin x+\dfrac{4}{5}\cos x\right)\)，

令\(\cos \varphi\)\(=\)\(\dfrac{3}{5}\)，\(\sin \varphi\)\(=\)\(\dfrac{4}{5}\)，则\(f(x)\)\(=\)\(5(\sin x\cos \varphi+\cos x\sin \varphi)\)\(=\)\(5\sin(x+\varphi)\)，

因为直线 \(x=\theta\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的一条对称轴，

所以\(\theta\)\(+\)\(\varphi\)\(=\)\(k\pi\)\(+\)\(\dfrac{\pi}{2}\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，所以\(\theta\)\(=\)\(k\pi\)\(+\)\(\dfrac{\pi}{2}\) \(-\) \(\varphi\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，

所以\(2\theta\)\(=\)\(2k\pi\)\(+\)\(\pi\)\(-\)\(2\varphi\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，

所以\(\cos 2\theta\)\(=\)\(\cos(2k\pi+\pi-2\varphi)\)\(=\)\(-\cos 2\varphi\)\(=\)\(-2\cos^2\varphi\)\(+1\)\(=\)\(-2\times\)\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\)\(+\)\(1\)\(=\)\(\dfrac{7}{25}\)，

\(\sin \theta\cos \theta\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin(2k\pi+\pi-2\varphi)\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin 2\varphi\)\(=\)\(\sin \varphi\cos \varphi\)\(=\)\(\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{5}\)\(=\)\(\dfrac{12}{25}\)，

所以\(\cos 2\theta\)\(+\)\(\sin \theta\)\(\cos \theta\)\(=\)\(\dfrac{7}{25}\)\(+\)\(\dfrac{12}{25}\)\(=\)\(\dfrac{19}{25}\).

解法2：利用对称轴的导数性质(更通用的代数法)，【方法原理】对于可导函数 \(y=f(x)\)，若直线 \(x=\theta\) 是其对称轴，则函数在 \(x=\theta\) 处取得极值（最大值或最小值），因此极值点处的导数为 \(0\)，即 \(f'(\theta)=0\)。我们可以通过这个性质直接求出 \(\tan\theta\)，再用齐次化法计算目标式，无需引入辅助角\(\varphi\)，更适合通用解题。

由题知 \(f(x)=3\sin x+4\cos x\)，对其求导：\(f'(x)\)\(=\)\(3\cos x\) \(-\) \(4\sin x\)，

因为 \(x=\theta\) 是对称轴，所以 \(f'(\theta)=0\)，即：\(3\cos\theta\) \(-\) \(4\sin\theta\) \(=\) \(0\)，

整理得：\(4\sin\theta\) \(=\) \(3\cos\theta\) \(\implies\) \(\tan\theta = \cfrac{3}{4}\)，

目标式为：\(\cos2\theta\) \(+\) \(\sin\theta\cos\theta\) \(=\) \((\cos^2\theta - \sin^2\theta)\) \(+\) \(\sin\theta\cos\theta\)，

故 \(\cos2\theta + \sin\theta\cos\theta = \cfrac{\cos^2\theta - \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta}\) \(=\) \(\cfrac{1 - \tan^2\theta + \tan\theta}{1 + \tan^2\theta}\)

代入 \(\tan\theta=\cfrac{3}{4}\) 计算

\(\cos2\theta + \sin\theta\cos\theta =\cfrac{1 - \left(\cfrac{3}{4}\right)^2 + \cfrac{3}{4}}{1 + \left(\cfrac{3}{4}\right)^2} = \cfrac{1 - \cfrac{9}{16} + \cfrac{3}{4}}{1 + \cfrac{9}{16}} = \cfrac{\cfrac{16 - 9 + 12}{16}}{\cfrac{16 + 9}{16}} = \cfrac{19}{25}\)