辅助角公式中系数含参|题型
前言
使用辅助角公式中容易产生一个误区,就是忽视辅助角的存在,常常会引起失误。
参数求解
分析:本题目实质是利用给定条件给出参数\(a\)的值,然后分析求解正弦型函数的各种性质;
法1:[常规解法]: 由于\(f(x)=a\sin x+\cos x=\sqrt{a^2+1}\sin(x+\phi)\),其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\),
又由于函数\(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{6}\) 对称,即\(\cfrac{\pi}{6}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\),\(k\in Z\),
则\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\),\(k\in Z\),此处由于只强调辅助角\(\phi\)的存在性,故赋值如下,
令\(k=0\),则\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\),故有\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}=\tan\cfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\),即\(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\),
所以 \(g(x)=\sin x+\cfrac{\sqrt{3}}{3} \cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x+\cfrac{\pi}{6})\),
[此处用求解法]函数\(g(x)\) 的对称轴方程为 \(x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\),\(k\in Z\),即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\),\(k \in Z\),
当 \(k=0\) 时,对称轴为直线 \(x=\cfrac{\pi}{3}\). 故选 \(C\).
法2[简单解法]: 因为函数 \(f(x)=a\sin x+\cos x\) (\(a\) 为常数, \(x \in R\)) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{6}\) 对称,
则利用对称性,可知 \(f(0)=f(\cfrac{\pi}{3})\), 即\(1=\cfrac{\sqrt{3}}{2}a+\cfrac{1}{2}\),
所以 \(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\),所以 \(g(x)=\sin x+\cfrac{\sqrt{3}}{3} \cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x+\cfrac{\pi}{6})\),
函数\(g(x)\) 的对称轴方程为 \(x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\),\(k\in Z\),即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{3}\),\(k \in Z\),
当 \(k=0\) 时,对称轴为直线 \(x=\cfrac{\pi}{3}\). 故选 \(C\).
法1:[常规解法]: 由于\(f(x)=a\sin x+\cos x=\sqrt{a^2+1}\sin(x+\phi)\),其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\),
又由于函数\(f(x)\) 的图象关于点\((\cfrac{\pi}{3}, 0)\)对称,即\(\cfrac{\pi}{3}+\phi=k\pi\),\(k\in Z\),
则\(\phi=k\pi-\cfrac{\pi}{3}\),\(k\in Z\),此处由于只强调辅助角\(\phi\)的存在性,故赋值如下,
令\(k=0\),则\(\phi=-\cfrac{\pi}{3}\),故有\(\tan\phi=\cfrac{1}{a}\),即\(\tan(-\cfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\),即\(a=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\),
所以 \(g(x)=\sin x-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\cos x=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(x-\cfrac{\pi}{6})\),
[此处用验证法],对于选项\(A\),当\(x=\cfrac{\pi}{6}\)时,\(g(\cfrac{\pi}{6})=0\),故选项\(A\)正确;
对于选项\(B\),当\(x=\cfrac{\pi}{3}\)时,\(g(\cfrac{\pi}{3})\neq 0\),故选项\(B\)错误;
对于选项\(C\),当\(x=\cfrac{2\pi}{3}\)时,\(g(\cfrac{2\pi}{3})=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\),取到最大值,故选项\(C\)正确;
对于选项\(D\),当\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时,\(g(\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\),取到最小值,故选项\(D\)正确;
综上所述,应该选择选项\(A\),\(C\),\(D\);
法1: [常规解法],先将\(f(x)=2\sin\omega x-\cos\omega x=\sqrt{5}\sin(\omega x-\phi)\),其中\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\),
此题目的难点是对数学符号\(|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)的理解,依题意可得\(\cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\),
故函数的最小正周期\(T=2\times 2=4\),则\(\omega=\cfrac{\pi}{2}\),
故解析式为\(f(x)=\sqrt{5}\sin(\cfrac{\pi}{2} x-\phi)\)
故\(f(1)=\sqrt{5}\sin(\cfrac{\pi}{2}-\phi)=\sqrt{5}\cos\phi\),
[题目到此转化为已知\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\),求\(\sqrt{5}\cos\phi\)的值的问题,这样就转化为常规问题了],
由于\(\tan\phi=\cfrac{1}{2}\),故令\(\sin\phi=k\),\(\cos\phi=2k\)(\(k>0\)),
则由\(k^2+4k^2=1\),解得\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)(舍去负值),故\(\cos\phi=2k=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\),
故\(f(1)=\sqrt{5}\cos\phi=\sqrt{5}\times \cfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\).
法2: [简单解法]此题目的难点是对数学符号\(|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)的理解,
依题意可得\(\cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\),
故函数的最小正周期\(T=2\times 2=4\),则\(\omega=\cfrac{\pi}{2}\),
所以 \(f(1)=2\sin\cfrac{\pi}{2}-\cos\cfrac{\pi}{2}=2\);
下题待有空整理,