平面向量错误收集
本博文收集整理与平面向量有关的常见且易犯的错误，便于各位学习有意识规避。
前言
向量是现代数学研究的重点，它是三角函数、代数、几何交流的工具，向量的运算和表达十分简洁明了、直观，因此向量应用十分广泛，有利于数学中各种问题的解决，有利于提高几何的证明力。高中数学中的向量既是物理学研究的工具，又是连接几何和代数的桥梁。高中数学课程改革改变了以前的教学内容以及教学理念，尤其是，一直在物理和空间物质结构、工程教学中才使用的向量，逐渐引起人们重视。
数学发展史上，向量概念的引入与寻求几何研究的新工具有很大的关系。意思是平面向量的引入，是为了让我们研究问题时有更多的选择[向量是连接数和形的桥梁，是沟通代数、几何和三角函数的工具]，但是在实际教学中我们发现，向量的学习里面的坑很大，好多学生掌握的不好。平面向量是个矢量，既有大小，又有方向，而实数只是个标量，故平面向量和实数在运算中有一样的地方，更多的是不一样的地方，所以非常容易出错。
厘清错因
- 忽视 \(\vec{0}\) 导致错误；
①\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，\(\vec{b}\)与\(\vec{c}\)共线，则\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)共线；[或若 \(\vec{a}//\vec{b}\)，\(\vec{b}//\vec{c}\)，则 \(\vec{a}//\vec{c}\)]
分析：对于①而言，若\(\vec{b}=\vec{0}\)，则此时\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)为非零的任意向量，即使两个是相互垂直的向量，也是满足\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，\(\vec{b}\)与\(\vec{c}\)共线，但是不满足\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)共线，故①是错误的；
进一步分析，向量共线和向量平行是一样的，故我们实质是依托三条直线的平行关系的传递性，来判断三个向量的平行关系，这是错误的，因为有个特例零向量夹杂在里面，如果已知的三个向量都不是零向量，则这个判断又是正确的；
②\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不共线，\(\vec{b}\)与\(\vec{c}\)不共线，则\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)不共线；
分析：对②而言，如\(\vec{a}=3\vec{c}\)，此时，任一非零向量\(\vec{b}\)若与\(\vec{a}\)、\(\vec{c}\)不共线，则满足题意，但 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{c}\) 共线；进一步分析，我们其实是迁移了三条直线的平行关系的传递性的否命题，[1]但是这是错误的，因为不平行的关系不具有传递性；
③\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线的充要条件是有且只有一个实数\(\lambda\)使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)；
分析：对于③而言，若\(\vec{b}=\vec{0}\)，则\(\lambda\)可以有无穷多个，不满足唯一性，故③错误；其实这是共线向量的基本定理的内容，其要求作为基底的向量\(\vec{b}\)必须是非零向量，即\(\vec{b}\neq \vec{0}\)，只有保证了其基底向量不为零向量，这样才能用\(\lambda \vec{b}\)表示所有与\(\vec{b}\)共线的其他向量；
再引申一步，若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不共线，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)都是非零向量，原因是零向量与任意向量共线[平行]。
④\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{CD}\)是共线向量，则点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)必然在同一条直线上；
分析：对于④而言，我们研究的是自由向量，即可以在平面内自由平行移动[故我们可以将向量的起点不在坐标原点的向量平移到坐标原点]，这一点和物理上的力这一矢量又有不同[力有受力点，故不能随意平移]，这样\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{CD}\)是共线向量，有可能两个向量所在的直线共线，也有可能两个向量所在的直线平行而不共线，故④错误；
⑤ 起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆；
分析：若这些向量的模长为\(0\)，则轨迹为点，或者理解为圆塌缩为一个点，故⑤错误。
⑥ 若 \(\vec{a}//\vec{b}\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 若 \(\vec{b}\) 的方向相同或者相反。
分析：若两个向量都不是非零向量，由两个向量平行[或共线]，确实应该得到其方向相同或者相反。但若其中一个向量为 \(\vec{0}\) ，由于我们人为规定 \(\vec{0}\) 的方向是任意的，故此时二者的方向就不同了，故若 \(\vec{a}//\vec{b}\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 若 \(\vec{b}\) 的方向相同、相反或不同。
⑦若非零向量 \(\vec{a}\) 和非零向量 \(\vec{b}\) 的方向相同或相反，则向量 \(\vec{a}+\vec{b}\) 与 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 之一的方向相同。
分析：这就是假命题，若 \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\)，则 \(\vec{0}\) 与 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 之一的方向都不同。
⑧ \(|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 方向相反。
分析：这是假命题，比如令 \(\vec{a}=\vec{0}\) ，\(\vec{b}\neq\vec{0}\) ，则满足题意，但是 \(\vec{0}\)、\(\vec{b}\) 方向不同。
⑨ 向量 \(\vec{e_1}\) 和 \(\vec{e_2}\) 不共线，若向量 \(\lambda_1\vec{e_1}+\mu_1\vec{e_2}\) 和向量 \(\lambda_2\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}\) 共线，则有且只有一个实数 \(\lambda\) ，使得 \(\lambda_1\vec{e_1}\)\(+\)\(\mu_1\vec{e_2}\)\(=\)\(\lambda\)\((\lambda_2\vec{e_1}\)\(+\)\(\mu_2\vec{e_2})\)
分析：当 \(\lambda_1=\lambda_2=\mu_1=\mu_2=0\)时，则 \(\lambda_1\vec{e_1}+\mu_1\vec{e_2}=\vec{0}\)，\(\lambda_2\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}=\vec{0}\)，则此时的实数 \(\lambda\) 不唯一，故错误 。
解答：填写①②③④⑤⑥⑦⑧⑨；
- 关于向量的相关概念理解不到位，不透彻，导致错误；
①.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量；
假命题，任何非零向量都有两类(一类是同向的向量，另一类是反向的向量)与之共线的方向向量，也都有两个与之共线的单位向量；与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的单位向量 \(\vec{a_0}\) 为两个，\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
②.任一向量与它的相反向量不相等；
假命题，反例为零向量。
③.共线的两个向量，若起点不同，则终点也一定不同；
假命题，如两个共线的向量一个起点为\((-1,0)\)，另一个起点为\((1,0)\)，终点都是\((0,0)\)，则这两个向量的共线且终点相同；
④.直线的方向向量有两个，直线的单位向量也有两个。
假命题，直线的方向向量有两类[个数有无穷多，朝向直线的两个方向，大小不定]，每一个方向上的方向向量都会对应一个单位向量，故直线有两个单位向量，但方向向量有无穷多个。
⑤.向量不能比较大小。
真命题，向量有大小，也有方向，故不能比较大小，与此同理的是，复数也不能比较大小；
⑥.两个向量相等的充要条件是向量的起点和终点相同。
假命题，两个向量相等，只需要向量的模相等，方向相同，就是相等向量，不一定要求起点和终点都相同；而向量的起点和终点相同，则它们一定是相等向量，故⑤错误；其实“向量的起点和终点相同”是“两个向量相等”的充分不必要条件。
⑦.向量就是有向线段；
假命题，有向线段只是向量的一种表示形式，有向线段有三个要素：起点、方向、长度，而向量只有两个要素：方向，大小[长度]，故向量和有向线段不是等同的概念。另：三维包含二维，故可以用有向线段来刻画向量。
⑧. 直角坐标平面上的 \(x\) 轴和 \(y\) 轴都是向量。
假命题，\(x\) 轴和 \(y\) 轴只有方向，没有大小，故不是向量，也不是数量[物理上称为标量，指的是只有大小，没有方向的量]。
⑨. 海拔、温度、角度，压强都是向量。
假命题，海拔，只要定义了海平面为 \(0\) ，海平面以上为正数，海平面以下为正数，不需要方向就能刻画清楚，故是标量。就类似数轴一样，温度、角度，压强和海拔一样，故都是标量。换个角度，我们所说的向量的方向，是 \(360^{\circ}\) 方向的，而海拔的方向只是人为规定的，且只有两个方向，和向量的方向是不一样的，故海拔、温度、角度，压强只有大小而没有方向，故不是向量。
- 不熟悉不理解向量的运算律和运算法则，导致错误[向量的点乘运算，即向量的数量积不满足消去律和结合律，却满足分配律]；
①零向量与任一向量平行，与任一向量垂直；
对于①而言，是真命题，其实我们一贯用零向量和任一向量平行，但很少用垂直。关于垂直，课本在定义了非零向量垂直的情况下，补充说明了对零向量的规定。故零向量[不是没有方向，而是方向任意]与任一向量平行，与任一向量垂直；
②若\(\vec{a}//\vec{b}\)，则\(\vec{a}=\lambda\vec{b}(\lambda\in R)\)；
对于②而言，是假命题，是共线向量基本定理的符号语言表达形式，不过缺少了基底向量\(\vec{b}\neq \vec{0}\)，故错误；
③\((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)
对于③而言，是假命题，左边的向量\((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\)与\(\vec{c}\)共线，而右边的向量\(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)与\(\vec{a}\)共线，故这两个向量连共线都不一定不满足，更不用说满足相等；其实向量的运算不满足结合律；而实数是满足结合律的，如\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)；
④\(|\vec{a}|+|\vec{b}|\geqslant |\vec{a}+\vec{b}|\)；
对于④而言，是真命题，这是向量形式的柯西不等式；
⑤若\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，则\(A\)，\(B\)，\(C\)为三角形的三个顶点。
对于⑤而言，是假命题，若\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，则\(ABC\)可以构成一个三角形，也可能是三点重合，都是零向量，其实我们更多的使用的是这样的结论：若\(A\)，\(B\)，\(C\)为三角形的三个顶点，则\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)。
⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
对于⑥而言，假命题，一个平面内任意一对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底，故这样的基底可以有无穷多对；也正因为这样，我们在选择基底是才有更大的选择余地。
故选\(A\).
①.若\(\vec{a}^2+\vec{b}^2=0\)，则\(\vec{a}=\vec{b}=\vec{0}\)； 真命题，受实数运算的影响，容易错写为\(\vec{a}=\vec{b}=0\).
②.若\(k\in R\)，\(k\vec{a}=\vec{0}\)，则\(k=0\)或\(\vec{a}=\vec{0}\)； 真命题，
③.若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)； 假命题，受实数的运算的影响，很容易判断其为真命题。其实\(\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=0\)，故可能\(|\vec{a}|=0\)或\(|\vec{b}|=0\)或\(\cos\theta=0\).故可能\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)或\(\vec{a}\perp\vec{b}\).
④.若\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)都是单位向量，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\leqslant 1\)恒成立；真命题，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 1\cdot\cos\theta=\cos\theta\leqslant 1\);
⑤.三个向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)共面，则它们所在的直线共面。假命题，自由向量，可以平移的。
⑥.向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)平行，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的方向相同或相反；假命题，只有两个非零向量才满足这一点。
⑦.若非零向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的方向相同或相反，则\(\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)之一方向相同。假命题，若\(\vec{a}=-\vec{b}\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\)，此时说\(\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)之一方向相同，是不对的。
⑧.若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|>|\vec{b}|\)且方向相同，则\(\vec{a}>\vec{b}\)；假命题，向量有方向，不能比较大小；
⑨.相等向量的坐标相同；真命题，因为向量可以平移。
分析：对于A，由非零向量平行的传递性，可知正确；
对于B，由\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}\)，两边约去\(\vec{b}\)，得到\(\vec{a}=\vec{c}\)，这是错误的，原因是向量运算不满足消去律；应该这样变形，由题得到\(\vec{b}(\vec{a}-\vec{c})=0\)，当\(\vec{b}=\vec{0}\)时，或者\(\vec{a}-\vec{c}=\vec{0}\)或者\(\vec{b}\perp(\vec{a}-\vec{c})\)时都满足条件，故不能得到\(\vec{a}=\vec{c}\)，故B错误；
对于C，给\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)两边平方，得到\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2\)，整理得到，
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，故\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，故C正确；
对于D，由\(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)都是非零向量，且是方向相同的共线向量，则\(\vec{a}//\vec{b}\)，故D正确；
综上所述，选\(ACD\)。
- 将三角形的内角和向量的夹角混淆，导致错误；
错解：由于\(\cos B=\cfrac{3}{5}\)，故\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cdot \cos B=9\)
错因分析：两个向量的夹角是由共起点的两个向量所夹的角，故两个向量的夹角\(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}>=\pi-B\)，和三角形的内角不是相等关系，而是互补关系，
正解：\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cdot \cos(\pi-B)=-9\)
- 忽略向量共线状态的验证，导致错误；
错解：由于向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2x-3<0\)，
解得\(x<\cfrac{3}{2}\)；
错因分析：当夹角为\(\pi\)时，两个向量平行[共线]，也包括在\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)中，故需要排除共线的情形；
正解：由于向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)且向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不共线，[2]
从而得到\(\left\{\begin{array}{l}{2x-3<0}\\{-x-2\times 3\neq 0}\end{array}\right.\)
解得，\(x<\cfrac{3}{2}\)且\(x\neq -6\)为所求；
解后反思：一般的，若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\) 且向量 \(\vec{a}\)与\(\vec{b}\) 不共线[排除夹角为 \(\pi\)的情形]，若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为锐角，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)且向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不共线[排除夹角为 \(0\)的情形].
- 混淆向量平行与垂直的条件；
回顾：\(\vec{a}=(x_1，y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2，y_2)\)，则若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(x_1x_2+y_1y_2=0\)；则若\(\vec{a}//\vec{b}\)，则\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；
正解：若\(\vec{a}//\vec{b}\)，由\(2\cos x+\sin x=0\)，解得\(\tan x=-2\)；
若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，由\(1\cos x-2\sin x=0\)，解得\(\tan x=\cfrac{1}{2}\)；
典例剖析
分析：设\(<\vec{a},\vec{b}>=\theta\)，则由\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角，
得到\(-1<\cos\theta<0\)，而\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\)，
故\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}<0\)，即\(-3x^2+4x<0\)，
解得\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，此时未完，切记，这才解了个必要条件，不是充要条件；
还需要求解\(-1<\cos\theta\)，但是\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}>-1\)不好求解；
故我们换成求解\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\neq -1\)，此时可以仿照等式来求解，没有符号容易出错之嫌；
即\(3x^2-4x\neq \sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}\)，
两边平方，即\((3x^2-4x)^2\neq 5x^2(9x^2+4)\)，整理为\(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\neq 0\)，
即\(x\neq -\cfrac{1}{3}\)，又因为\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，
则\(x\)的取值范围为\((-\infty,-\cfrac{1}{3})\cup(-\cfrac{1}{3},0)\cup(\cfrac{4}{3},+\infty)\)，或者如下书写：
\(\{x\mid x<0或x>\cfrac{4}{3}且x\neq -\cfrac{1}{3}\}\)；
解后反思：若向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的夹角为锐角，则\(\cos\theta>0\)且\(\cos\theta\neq 1\)；
若向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的夹角为钝角，则\(\cos\theta<0\)且\(\cos\theta\neq -1\)；
分析：由于向量\(\vec{a}=(6,-8)\)，则与\(\vec{a}\)垂直的向量\(\vec{v}=(4，3)\)，
故\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\pm\cfrac{1}{5}(4,3)=\pm(\cfrac{4}{5},\cfrac{3}{5})\) 。
由解析几何我们知道，直线 \(a//b\)，直线 \(b//c\)，则直线 \(a//c\)，这是个真命题；这一命题迁移到向量体系中，则得到：
原命题： 若三个向量都是非零向量，如果满足向量 \(\vec{a}//\vec{b}\)，向量 \(\vec{b}//\vec{c}\)，则\(\vec{a}//\vec{c}\)；（真命题）
否命题： 若三个向量都是非零向量，如果满足向量 \(\vec{a}\require{enclose}\enclose{downdiagonalstrike}{//}\vec{b}\)，向量 \(\vec{b}\require{enclose}\enclose{downdiagonalstrike}{//}\vec{c}\)，则\(\vec{a}\require{enclose}\enclose{downdiagonalstrike}{//}\vec{c}\)；（假命题），由命题的关系我们知道，原命题和其否命题的真假没有必然的关联。 ↩︎\(\vec{a}=(x,3)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\((-1)\times x+2\times 3=0\)，
则若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不共线，则\((-1)\times x+2\times 3\neq 0\)， ↩︎
