两点之间线段最短|点的对称

前言

在平面几何中，两点之间线段最短，这是初中学生人尽皆知的公理，其实它已经延申到了高中数学中；

典例剖析

[两定点一动点][关于直线对称]如图所示，定点\(A\)，\(B\)在直线\(l\)的同一侧，在直线上找一点\(P\)，使得\(|PA|+|PB|\)最短。

分析：做出点\(A\)关于直线\(l\)的对称点\(A'\)，连结\(A'B\)和直线\(l\)相交于点\(P\)，由两点之间线段最短，点\(P\)为所求作的点。

[两动点一定点][类似关于曲线对称]已知抛物线\(y^2=4x\)上一个动点\(P\)，点\(A(4,2)\)，求点\(P\)的坐标本题目的另外一种等价问法：已知抛物线\(y^2=4x\)上一个动点\(P\)，点\(A(4,2)\)，求点\(P\)的坐标，使得点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(|PF|\)与\(|PA|\)之和最小\(\quad\)，使得点\(P\)到准线的距离\(|PE|\)与\(|PA|\)之和最小，

分析：准线为\(x=-1\)，当点\(A\)，\(P\)，\(E\)三点共线，即三点连线与\(x\)轴平行时\(|PE|+|PA|\)之和最小；

此时\([|PA|+|PE|]_{min}=|AE|=|4-(-1)|=5\)，此时点\(E(-1,2)\)，点\(P(1,2)\)。

[两定点一动点]如图，\(E\)为正方形\(ABCD\)的边\(AB\)上的一点，\(BE=3AE=6\)，\(P\)为对角线\(BD\)上的一个动点，则\(|PA|+|PE|\)的最小值为_______。

分析：由题可知，\(AB=BC=8\)，\(BE=6\)，

将点\(A\)关于直线\(BD\)对称到点\(C\)，连结\(CE\)和\(BD\)相交于一点\(P\)，

则由两点之间线段最短，可知点\(P\)为所求作的点。

此时\([|PA|+|PE|]_{min}=|CE|=\sqrt{6^2+8^2}=10\)。

数形结合

函数\(y=\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-8x+41}\)的最小值为________________。

分析：借助平面内两点间距离公式，将函数转化为\(y=\sqrt{(x-0)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(0-5)^2}\)，

所给函数可以看作是点\(P(x，y)\)到两定点\(A(0，3)\)和\(B(4，5)\)的距离之和，

即在\(x\)轴上求一点\(P\)，使之到\(x\)轴同侧两点\(A\)，\(B\)的距离之和最小，

又\(A\)点关于\(x\)轴的对称点\(A'(0，-3)\)，

故\(|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|\geqslant |A'B|=4\sqrt{5}\)，

故所求最小值为\(4\sqrt{5}\)。

立体平面化

【北京人大附中高二阶段检测第10题】棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)为棱\(CC_{1}\)的中点，点\(P\)，\(Q\)分别为面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)和线段\(B_{1}C\)上的动点，则\(\triangle PEQ\)周长的最小值为【\(\quad\)】

$A.2\sqrt{2}$ $B.\sqrt{10}$ $C.\sqrt{11}$ $D.2\sqrt{3}$

分析：由题目可知，点\(P\)和点\(Q\)为两个动点，我们可以先假定点\(Q\)不动，令点\(P\)在平面\(A_1B_1C_1D_1\)上任意运动，

很显然，当点\(P\)在线段\(B_1C_1\)上运动时，\(\triangle PEQ\)周长才可能取得最小值，故点\(P\)在线段\(B_1C_1\)上运动。

此时，将上底面\(A_1B_1C_1D_1\)绕 轴\(C_{1}D_{1}\) 旋转\(90^{\circ}\)展开，求得点\(E\)关于\(B_1C\)的对称点\(M\)，则\(QM=QE\)，

求得点\(E\)关于\(B_1C_1\)的对称点\(N\)，则\(PE=PN\)；此时直接连接\(MN\)，由于\(\triangle PEQ\)的周长\(=PE+QE+PQ=QM+PQ+PN\)，

则\(MN\)即为\(\triangle PEQ\)周长的最小值；

此时，\(CN=3\)，\(CM=1\)，故由勾股定理得到\(MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)，故选\(B\).

【2021届高三文科数学小题满分练】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 \(x^2＋y^2\leqslant 1\)，若将军从点 \(A(2,0)\) 处出发，河岸线所在直线方程为 \(x＋y＝3\) ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为【\(\quad\)】

$A.\sqrt{10}-1$ $B.2\sqrt{2}-1$ $C.2\sqrt{2}$ $D.\sqrt{10}$

解析：　由题意得“将军饮马”的路程最短问题即在直线 \(x＋y＝3\) 上找一点 \(P′\)，使得 \(P′\) 到点 \(A(2,0)\) 与圆上一点的距离之和最小问题．

如图，点 \(A(2,0)\) 关于直线 \(x+y=3\) 的对称点为 \(B(3,1)\)， \(OB\) 与直线 \(x+y=3\) 的交点为 \(P\)，

由于 \(|PA|=|PB|\)，所以 \(|PA|+|PO|=|PB|+|PO|=|OB|\)

又由于 \(|P'A|+|P'O|=|P'B|+|P'O|\geqslant |OB|=\sqrt{10}\)

所以 当点 \(P'\) 与点 \(P\) 重合时， \(|P'A|+|P'O|\) 取得最小值 \(\sqrt{10}\).

又圆 \(O\) 的半径为 \(1\)， 在直线 \(x+y=3\) 上找一点 \(P'\)，

使得 \(P'\) 到点 \(A(2,0)\) 与圆上一点的距离之和的最小值为 \(\sqrt{10}-1\)，

即“将军饮马”的最短总路程为 \(\sqrt{10}-1\)， 故选 \(A\).