判断三角形个数
从数和形的角度说明如何判断三角形的个数。
前言
利用正余弦定理判断三角形的个数的常用思路：
①代数法：从数的角度思考，根据大边对大角的性质，三角形内角和公式，正弦函数值判断；
②几何图形法，从形的角度思考，根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形的个数；
情形列举
在\(\triangle ABC\)中，已知\(a，b，A\)，三角形的解的个数比较复杂，见下表
典例剖析
法1：代数法，由\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)，得到\(sinB=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
故\(B=60^{\circ}\)或\(B=120^{\circ}\)，则对应的三角形有两个，故选\(B\)；
法2：几何图形法，可仿例3完成，由于\(bsinA=\sqrt{3}\)，则\(bsinA<a<b\)，
故满足条件的三角形有两个。
法1：从形的角度，如图所示，\(AD=20\sqrt{3}\)，当以点\(A\)为圆心，以\(20\)为半径做圆时，
此时和角的另一边\(CD\)没有交点，故满足题意的三角形是不存在的。
法2：从数的角度，如果这样的三角形是存在的，那么由正弦定理可知，
\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，得到\(sinB=\cfrac{bsinC}{c}=\sqrt{3}>1\)，
我们知道\(|sinx|\leq 1\)，故这样的\(B\)不存在，即满足题意的三角形不存在。
分析：这样的题目我们一般是从形的角度入手分析的多见一些，因为毕竟有形的帮助要直观的多。
如图所示，由图像可知\(CD=6\sqrt{3}\)，
当\(k\in(0，6\sqrt{3})\)时，满足题意的三角形不存在；
当\(k=6\sqrt{3}\)时，满足题意的三角形是唯一的，且是直角三角形。
当\(k\in(6\sqrt{3}，12)\)时，满足题意的三角形是两个。
当\(k=12\)时，满足题意的三角形是一个，是等腰三角形。
当\(k>12\)时，满足题意的三角形是一个。
【解后反思】1、学生对这类题目的掌握一般都不太好，不会作图，不会应用图像解决问题。
2、这类题目作图的顺序是这样的，先做出\(\angle B\)，一条已知边\(BC\)要么水平放置，要么斜放着，一般都是斜放着，此时点\(C\)就有了着落，这样放置也便于求点\(C\)到下底边上的高，然后以点\(C\)为圆心，以\(AC\)长为半径画弧，若所画的弧与下底边有交点，这个交点就是点\(A\)，有几个交点就意味着有几个三角形存在，若所画的弧与下底边没有交点，则这样的三角形是不存在的。
法1：从数的角度入手，由正弦定理\(\cfrac{k}{sinA}=\cfrac{12}{sin60^{\circ}}\)，
得到方程\(k=8\sqrt{3}sinA，A\in(0，\cfrac{2\pi}{3})\)有一个解，或者两个函数图像有一个交点，数形结合求解即可。
由图可知，满足题意的三角形恰有一个，则\(k\in(0，12]\)或\(k=8\sqrt{3}\)。
法2：从形的角度入手，动静元素互相换位，即理解为让长度为\(12\)的边变化，让长度为\(k\)的边不变化。
如图，以点\(C\)为圆心画弧，当\(12\)小于点\(C\)到边\(AB\)的高度\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时，
即\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}>12\)时，解得\(k>8\sqrt{3}\)，此时三角形是不存在的；
当\(12\)等于点\(C\)到边\(AB\)的高度\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时，
即\(12=k\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(k=8\sqrt{3}\)，三角形是唯一的；
当\(12\)大于点\(C\)到边\(AB\)的高度\(k\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时，三角形是两个的，
即\(12>k\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(k<8\sqrt{3}\)；
当\(12\)大于或等于边\(BC\)时，三角形是唯一的，即\(0<k\leqslant 12\)，
综上可知，当\(k=8\sqrt{3}\)或\(k\in(0，12]\)时，满足条件的三角形恰好只有一个。
【解后反思】①动静互换，体现了思维的灵活性；②是否可以这样想，有一种从形入手分析的思路，必然就会有一种从数入手的思路与之对应。
