函数的导数概念

概念引入

如图所示，已知函数\(y=f(x)\)，给定其上的两个点\(A(x_0，y_0)\)和\(B(x_0+\Delta x，y_0+\Delta y)\)，

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上图备注：直线\(AB\)[橘黄色的虚线]，为函数的割线；

则经过这两个点的直线\(AB\)，我们称为函数的割线，我们称下列的表达式

\[\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

为函数在\((x_0，x_0+\Delta x)\)上的平均变化率，也就是割线的斜率\(k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)，

当点\(B\)沿着函数图像向点\(A\)靠近时，即\(\Delta x\rightarrow 0\)时，割线就变成了切线，也就是平均变化率变成了瞬时变化率。

如下的数学表达式，

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

我们称为函数在点\(x=x_0\)处的瞬时变化率，如果这个极限存在，记为常数\(k\)，就称函数在这一点有导数，并称之为函数在点\(x=x_0\)的导数，

记作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)，或者记作\(y'|_{x=x_0}\)或者 \(\cfrac{dy}{dx}\) ^[1]

廓清认知

1、函数在某一点处的导数，是一个常数，其对应的形为函数在这一点的切线的斜率。即

\[k=f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

若切点坐标是\((x_0，y_0)\)，则切线方程为：$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$

2、函数在某一点有导数的前提条件是函数在这一点的极限[即左极限和右极限都存在且相等]要存在，初高中阶段所学的函数中有一个函数\(y=|x|\)，在\(x=0\)处就没有导数，即函数\(y=|x|\)在\(x=0\)处不可导，粗浅的可以这样理解，凡是函数图像上有尖角的地方就不可导，[详细的原因是函数在这一点处的左右导数不相等。]

3、导数与几何、代数、物理都有关联，比如在几何上可以求在某点处的切线斜率；在代数上可以求瞬时变化率；在物理上可以求速度和加速度(位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度)；

4、求导和求不定积分是一对互逆的运算。

5、对函数而言，连续不一定可导，但可导一定连续。比如函数\(y=|x|\)，故函数在某个区间上连续是函数可导的必要不充分条件，因此我们给函数求导时往往需要先要求函数连续。在目前的高中教学实践中，题目所给的函数基本都是连续的，所以基本上都是函数拿到手就直接求导，也不判断函数是否连续，就是在个别判断性的题目中需要注意一下。

6、过函数上某一定点的割线的极限是函数在这一点处的切线，割线的斜率的极限就是切线的斜率。

7、我们在初中定义直线和圆(圆是非常特殊的封闭图形)相切时是利用交点的个数，当二者只有一个交点时，就一定相切；当二者相切时必然只有一个交点。但是当我们的研究范围和方法变化后，我们利用割线的极限来定义切线，就得注意打破这一点，

• 当直线和曲线相切时，不一定只有一个交点，也可能有无数个交点，比如直线\(y=1\)和曲线\(y=sinx\)，二者相切，有无数个交点。

• 当直线和曲线只有一个交点时，不一定是相切的，也可能相交，

比如直线\(x=1\)和抛物线\(y=(x-1)^2\)只有一个交点，但此时二者是相交的，不是相切的。

上图演示的是，圆的割线的极限位置就是切线；

求函数\(f(x)=x^3\)在点\((0,0)\)处的切线方程；

思路一：从数的角度，\(f'(x)=3x^2\)，故\(k=f'(0)=0\)，则切线方程为\(y-0=0(x-0)\)，即直线\(y=0\)，也即\(x\)轴；

思路二：从形的角度，如下图所示，

故函数\(f(x)=x^3\)在点\((0,0)\)处的切线方程为\(y=0\)；

8、函数的导数是个常数，记作\(y'|_{x=x_0}\)或$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

而导函数是个函数，是个变量，记作\(y'|_{x}\)或$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

9、用定义法可以求函数的导数和导函数，

• 比如求函数\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=1\)处的导数；具体见下面的 例题。

• 比如求函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的导函数；仿照上述例题的求解过程，将 \(x=1\) 这一具体数字理解成变量 \(x\) 就可以求解，只是非常麻烦，我们一般理解为这一方法可行，但基本不使用，高中阶段一般都只用公式法求导。

10、常常利用函数的导数是常数来设置题目，如已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)x+1\)，求函数的解析式；^[2]

11、实际问题中的导数的意义：在不同的实际问题中，导数的意义是不相同的。

比如：功率是功关于时间的导数；速度是路程关于时间的导数；

加速度是速度关于时间的导数；线密度是质量关于长度的导数；

边际成本是成本关于产量的导数；气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数。

12、用定义法求函数的导数的应用举例：

用导数的定义求函数\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=1\)处的导数。

分析：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

为便于表述和计算，记\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)，

则\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1}{\Delta x}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}}{\Delta x}\)\(=\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{(1-\sqrt{1+\Delta x})\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{-\Delta x}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

则\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)\(=-\cfrac{1}{2}\)。

补遗：用公式法求解导数，由于\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\)，则\(y'=-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\)，

当\(x=1\)时，\(y'|_{x=1}=-\cfrac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}-1}=-\cfrac{1}{2}\).

13、求函数的导数、导函数的方法有定义法和公式法，使用定义法可以帮助我们理解这些公式的来源和正确性。但在后续的学习中，我们一般不用定义法求函数的导数。

14、求导公式

原函数	导函数	原函数	导函数
\(f(x)=C\)(\(C\)为常数)	\(f'(x)=0\)	\(f(x)=x^{\alpha}\)(\(\alpha\)为常数)	\(f'(x)\)\(\sqrt{x}'\)\(=\)\((x^{\frac{1}{2}})'\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(x^{-\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\)，\((x^{-1})'\)\(=\)\(-\cfrac{1}{x^2}\)；\(=\)\(\alpha\)\(\cdot\)\(x^{\alpha-1}\)
\(f(x)=a^x\)(\(a\)为常数)	\(f'(x)\)\(=\)\(a^x\)\(\cdot\)\(\ln a\)特例:\((e^x)'=e^x\)；	\(f(x)=log_ax\)(\(a\)为常数)	\(f'(x)\)特例:\((\ln x)'=\cfrac{1}{x}\)\(=\)\(\cfrac{1}{x\cdot lna}\)
\(f(x)=\sin x\)	\(f'(x)=\cos x\)	\(f(x)=\cos x\)	\(f'(x)=-\sin x\)

15、导数的四则运算法则：

加法：\([f(x)+ g(x)]'=f'(x)+ g'(x)\)；

减法：\([f(x)- g(x)]'=f'(x)- g'(x)\)；

乘法：\([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)；\)常用 \([k\)\(\cdot\)\(f(x)]'\) \(=\) \(k\)\(\cdot\)\(f'(x)\) (\(k\)常)
(\(x\)\(\cdot\)\(\ln x\)\()^{\prime}\)\(=\)\(1\)\(+\)\(\ln x\);
\((e^{-2x})'\)\(=\)\(-2\)\(e^{-2x}\)

除法：\([\cfrac{f(x)}{g(x)}]'=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)

复合函数的求导练习；

16、导数的计算原则和方法

• 计算原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式[即求导公式]求导的和、差、积、商的形式[即求导法则]，然后求导；
• 具体方法如下：

①.连乘积的形式：先展开化简为多项式的形式，再求导；

②.分式形式：观察函数的结构特征，考虑化为整式函数或部分分式形式的函数，再求导；

③.对数形式：先化为和、差形式，再求导；

④.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤.三角形式：先利用三角公式化为和或差的形式，再求导；

典例剖析

求下列函数的导数：

①\(y=(2x^2-1)(3x+1)\)；

解：首先将连乘积的形式展开化简为多项式的形式，

得到\(y=6x^3+2x^2-3x-1\)，故\(y'=18x^2+4x-3\)；

②\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x}+x^5+\sin x}{x^2}\)

解：\(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}+x^3+\cfrac{\sin x}{x^2}\)，

则\(y'=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{\cos x\cdot x^2-\sin x\cdot (2x)}{x^4}\)

\(=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{x\cos x-2\sin x}{x^3}\)

③\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}(1-2\cos^2\cfrac{x}{4})\)

解：首先化简为\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}\cdot (-\cos\cfrac{x}{2})=\cfrac{1}{2}\sin x\)，

则\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cos x\).

④\(h(x)=\ln(2x-5)\)

解：\(h'(x)=\cfrac{1}{2x-5}\cdot (2x-5)'=\cfrac{2}{2x-5}\)

⑤\(m(x)=\cfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\cfrac{1}{1+\sqrt{x}}\)

解：先通分化简为\(m(x)=\cfrac{2}{1-x}\)，

则\(m'(x)=2\cdot \cfrac{0-1\cdot (-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2}{(1-x)^2}\)

⑥\(y=e^{-3x}-1\)

解：\(y'=-3\cdot e^{-3x}\)；

⑦\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}\)

解：\(f(x)=ln(x-1)-ln(x+1)\)，

则\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot 1-\cfrac{1}{x+1}\cdot 1\)

\(=\cfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}\)

⑧\(g(x)=\cfrac{-x+1}{e^{-x}}\)

解：\(g'(x)=\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(-x+1)\cdot e^{-x}\cdot(-1)}{(e^{-x})^2}=\cfrac{e^{-x}[-1+(-x+1)]}{(e^{-x})^2}=\cfrac{-x}{e^{-x}}\)

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(y=f(x)\)的图像在\(x=2\)处的切线方程为\(y=3x+1\)，则\(f(2)+f'(2)\)=_____________。

分析：由题可知，\(f(2)=2\times 3+1=7\)，\(f'(2)=3\)，故\(f(2)+f'(2)=10\);

【2020届高二理科数学试题】已知\(f(x)=e^{2x}+3x\)，当\(\Delta x\rightarrow 0\)时，则分式\(\cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)趋向于__________.

分析：回顾导数的定义式，$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

变形如下，由于\(\cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)

\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x}+\cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

故\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)

\(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x} +\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

\(=-f'(x)|_{x=0}-f'(x)|_{x=0}=-(2e^{2x}+3)|_{x=0}-(2e^{2x}+3)|_{x=0}=-10\)

【思维训练题目】设\(f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，求\(f'(0)\)的值；

分析：本题目的求解难点在于对函数\(f(x)\)的拆分， 为什么要如下拆分，大家看完求解过程就清楚了。

令\(g(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，则\(f(x)=x\cdot g(x)\)，

则\(f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)\)，故\(f'(0)=g(0)+0\cdot g'(0)=1\times 2\times 3\times \cdots \times 2013\)；

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1. \(dy\) 是因变量的微分，\(dx\) 是自变量的微分，高中阶段这样的符号很少出现，高中生不需要掌握。 ↩︎

2. 分析：由于函数的导数实质上也是实数，故给原式两边同时求导，【注意：\([2f'(2)\cdot x]'=2f'(2)\)】
   由求导法则，可得 \(f'(x)=2x+2f'(2)\) ，
   再令\(x=2\)，得到\(f'(2)=4+2f'(2)\)，解得\(f'(2)=-4\)，可知\(f(x)=x^2-8x+1\)。
   〔解后反思〕：函数的导数实质上也是个实数。 ↩︎