观察归纳猜想验证
整理需要用到观察、归纳、猜想、验证的数学素材。
前言
素材备用
- 函数中
求值：\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})=7\)．
分析：由\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)可知，两个自变量之和为\(1\)时，其函数值之和为\(2\)，故\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{1}{8})=2\)，等等，
又由已知可知，\(f(1-x)+f(x)=2\)，令\(x=\cfrac{1}{2}\)，可得\(f(\cfrac{1}{2})=f(\cfrac{4}{8})=1\)，
故\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})=7\)．
【观察】：注意到\(\cfrac{1}{2017}+\cfrac{4033}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cfrac{2}{2017}+\cfrac{4032}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cdots\)，
【归纳】：以上诸多表达式，我们一般不会一一验证，如果我们用\(x\)和 \(2-x\)来代表上述不同表达式中的自变量，则到两端等距离的两项的函数值的和就可以归纳为\(f(x)+f(2-x)\)，
【猜想】：是否对任意\(x\)，都满足\(f(x)+f(2-x)=m\)(\(m\)为常数)？
【验证】：\(f(x)+f(2-x)=x+sin\pi x-3+(2-x)+sin\pi(2-x)-3\)
\(=sin\pi x+sin(2\pi-\pi x)-4=sin\pi x-sin\pi x-4=-4\)，
结论：\(f(x)+f(2-x)=-4\)。
解析：故\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)
\(=[f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})]+[f(\cfrac{2}{2017})+f(\cfrac{4032}{2017})]+\cdots+[f(\cfrac{2016}{2017})+f(\cfrac{2018}{2017})]+f(\cfrac{2017}{2017})\)
\(=2016\times(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066\)，故选\(D\)。
分析：从研究函数的特殊性质入手，切入点是给定式子的结构；注意到自变量有\(2\)和\(\cfrac{1}{2}\)，
所以先尝试探究\(f(x)+f(\frac{1}{x})\)，结果，\(f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，
这样就可以将中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表为\(f(2)+\cfrac{1}{2^2}f(2)\)，
故接下来探究\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=？\)，结果发现\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{1}{x^2}\cdot\cfrac{x^2}{1+x^2}=1\)，
到此我们以及对整个题目的求解心中有数了，则整个题目的求解思路基本清晰了。
解析：由\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=1\)和\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=1\)，可将所求式子变形得到：
\(2f(2)+2f(3)+\cdots+2f(2017)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots+f(\frac{1}{2017})+\frac{1}{2^2}f(2)\) \(+\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)
\(=\{[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\cdots+[f(2017)+f(\frac{1}{2017})]\}\) \(+\{[f(2)+\frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+\frac{1}{3^2}f(3)]+\cdots++[f(2017)+\frac{1}{2017^2}f(2017)]\}\)
\(=2016+2016=4032\).
- 求解析式
解析：利用观察归纳和换元法求解析式。
\(f(0)=3=3\cdot 2^0\)；
\(f(0.5)=2\cdot f(0)=3\cdot 2^1\)；
\(f(1)=2\cdot f(0.5)=4\cdot f(0)=3\cdot 2^2\)；
\(f(1.5)=2\cdot f(1)=8\cdot f(0)=3\cdot 2^3\)；
\(\cdots\cdots\)
\(f(0.5n)=2f(0.5(n-1))=3\cdot 2^n\)；[1]
令\(0.5n=t\)，则 \(n=2t\)，代入得到 \(f(t)=3\cdot 2^{2t}=3\cdot (2^2)^t=3\cdot 4^{t}\)
所以函数 \(y=f(x)\) 的一个解析式为 \(f(x)=3\cdot 4^x\)
- 数列中的观察+归纳+猜想，
分析：观察到数列的项整体都是分数[第一项 \(1\) 可以写成 \(\cfrac{1}{1}\)，这个改写形式是否满足题目，后边再确定]，其第三项和第五项的分子为\(1\)，第二项和第四项的分子我们可以通过分子分母同时除以\(\sqrt{2}\)尝试改写为\(1\)，如下：
\(1\)，\(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\cfrac{1}{2}\)，\(\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cdots\)，
到此，我们发现，已经距离目标很近了，再进行相应的改写，如下：
\(1\)，\(\cfrac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^2}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^3}\)，\(\cfrac{1}{4}\)，\(\cdots\)，
到此，数列的项的结构已经接近高度统一了，所以将剩余的项再次改写，如下：
\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^0}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^1}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^2}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^3}\)，\(\cfrac{1}{(\sqrt{2})^4}\)，\(\cdots\)，
故猜想得到该数列的一个通项公式为 \(a_n=\cfrac{1}{(\sqrt{2})^{n-1}}\)，也即就是 \(a_n=(\sqrt{2})^{1-n}=2^{\frac{1-n}{2}}\) .
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类比推理中
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二项式定理中
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数学归纳法中
观察：左边的和式是一系列的分式之和，分子都是\(1\)，分母从自然数\(1\)开始，逐项增加\(1\)，末项为\(2^n-1\)，由此得到，
由\(n=k\)时，左端的和式为\(1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{2^k-1}\)，
当\(n=k+1\)时，左端的和式为\(1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{2^k-1}+\cfrac{1}{2^k}+\cfrac{1}{2^k+1}+\cdots+\cfrac{1}{2^(k+1)-1}\)，
增加的项数可以借助等差数列求项数的公式求解\(n=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1\)，
故增加的项数为\(\cfrac{2^{k+1}-1-2^k}{1}+1=2^{k+1}-2^k=2^k\)，即增加的项数为\(2^k\)项。
解析：当\(n=k\)时，左边＝\(\cfrac{1}{k+1}＋\cfrac{1}{k+2}＋\cfrac{1}{k+3}＋\cdots＋\cfrac{1}{2k}\)，
当\(n＝k＋1\)时，左边＝\(\cfrac{1}{k+2}＋\cfrac{1}{k+3}＋\cfrac{1}{k+4}＋\cdots＋\cfrac{1}{2(k+1)}\)，
故由“\(n＝k\)”变成“\(n＝k＋1\)”时，不等式左边的变化是\(\cfrac{1}{2k+1}+\cfrac{1}{2k+2}-\cfrac{1}{k+1}\)，故选\(C\)。
验证
所举的函数例子虽说不是抽象函数，但对称性的验证同样适用。
分析：由于函数\(f(x)\)是复合函数，定义域要使\(x>0，2-x>0\)，即定义域是\((0，2)\)，
又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，则由复合函数的单调性法则可知，
在\((0，1)\)上单增，在\((1，2)\)上单减，故排除\(A\)，\(B\)；
若函数\(y=f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；
若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)=f(2-x)\)；
接下来我们用上述的结论来验证，由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，
\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即满足\(f(x)=f(2-x)\)，故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，选\(C\)；
再来验证\(D\)，发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)选项不满足。故选\(C\)。
分析：令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定义域\((0，4)\)，又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，故内函数在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，外函数只有单调递增，故复合函数\(f(x)\)在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，故排除\(A\)、\(B\)；
要验证\(C\)选项，只需要验证\(f(x)=f(4-x)\)即可，这是\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件；
而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故选\(C\)。
若要验证\(D\)选项，只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2，0)\)对称的充要条件，即验证\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行验证，不满足。
故本题目选\(C\).
观察规律的方法，给自变量整体乘以 \(2\)，得到 \(2\) 的指数； ↩︎
