破解依据函数单调性求参数范围的难点

前言

自从高中数学中引入了导数之后,能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了,但是随之也带来了许多困惑,本博文希望和各位一起作以探讨。

必备知识

导数的相关知识,导数与函数的单调性;

恒成立命题和能成立命题;

分离参数法;

相关链接

很容易让我们产生疑惑的地方,导数法求参数取值范围时需要注意问题

易混题型

Ⅰ.已知函数的单调性,求参数的取值范围;

  • 已知函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增,则\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立且\(f(x)\)不是常函数[勿忘验证];
  • 已知函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递减,则\(f'(x)\leqslant 0\)恒成立且\(f(x)\)不是常函数[勿忘验证];

\[\require{AMScd} \begin{CD} f(x)在区间D上单增\quad\quad @>{勿忘等号}>> f'(x)\geqslant 0在D上恒成立\quad\quad @>{\text{验证,排除常函数}}>{分离+构造+求最值}> 得到范围 \\ @V{并列}VV @VV{并列}V \\ f(x)在区间D上单减\quad\quad @>{勿忘等号}>> f'(x)\leqslant 0在D上恒成立\quad\quad @>{\text{验证,排除常函数}}>{分离+构造+求最值}> 得到范围 \\ \end{CD} \]

Ⅱ. 已知函数存在单调区间,求参数的取值范围;

  • 已知函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上存在单调递增区间,则\(f'(x)>0\)能成立[注意:不能转化为\(f'(x)\geqslant 0\)能成立];
  • 已知函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上存在单调递减区间,则\(f'(x)< 0\)能成立[注意:不能转化为\(f'(x)\leqslant 0\)能成立];

\[\require{AMScd} \begin{CD} f(x)存在单增区间\quad\quad@>{勿添等号}>> f'(x)>0能成立\quad\quad @>{\text{分离+构造+求最值}}>> 得到范围 \\ @V{并列}VV @VV{并列}V @. \\ f(x)存在单减区间\quad\quad @>{勿添等号}>> f'(x)<0能成立\quad\quad @>{\text{分离+构造+求最值}}>> 得到范围 \\ \end{CD} \]

Ⅲ. 函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上不单调

思路方法:①补集法,先求在区间\([a,b]\)上单调时的参数范围,再求其补集;或②直接法,函数不单调,则\(y=f'(x)\)在区间\((a,b)\)内有变号零点,则方程\(f'(x)=0\)有解,且为变号解的形式;

\[\require{AMScd} \begin{CD} f(x)不单调\quad\quad@>{间接法,正难则反}>>f(x)单调[单增或单减]\quad\quad @>{转化为上例,求结果的补集}>> 得到范围 \\ @| @AA{对比}A \\ f(x)不单调\quad\quad @>{直接法}>>f(x)在(a,b)内有极值点\quad\quad @>{从数,a=g(x)有解,且非切点解}>{从形,y=a与y=g(x)图像有交点,非相切}> 得到范围 \\ \end{CD} \]

典例剖析

【题型Ⅰ】已知函数\(y=f(x)\)的单调性,求参数的取值范围

  • 类型1:参数包含在函数的系数中

思路方法:若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)单调递增,则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a,b]\)上恒成立,且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\);若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)单调递减,则\(f'(x) \leq 0\)在区间\([a,b]\)上恒成立,且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\); 易错警示:漏掉等号,忘掉验证;

【2019高三理科数学资料用题】设函数\(f(x)=(x+a)e^{ax}(a\in R)\),若函数在区间\((-4,4)\)内单调递增,求\(a\)的取值范围。

【解答】由函数\(f(x)\)在在区间\((-4,4)\)内单调递增,则\(f'(x)\ge 0\)在区间\((-4,4)\)内恒成立,

\(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax}\),注意到\(e^{ax}>0\)恒成立,即有\(ax+a^2+1\ge 0\)在区间\((-4,4)\)内恒成立,

\(g(x)=ax+a^2+1\)为一次型的函数,故只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{g(-4)\ge 0}\\{g(4)\ge 0}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}{a^2-4a+1\ge 0}\\{a^2+4a+1\ge 0}\end{array}\right.\)

解得,\(\left\{\begin{array}{l}{a\ge 2+\sqrt{3}或a\leq 2-\sqrt{3}}\\{a\leq -2-\sqrt{3}或a\ge -2+\sqrt{3}}\end{array}\right.\)

\(a\in (-\infty,-2-\sqrt{3}]\cup[-2+\sqrt{3},2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3},+\infty)\)

[注意]:将\(a\)取到等号的值代入函数,明显函数不是常函数,故大多题目会直接省略这一点,实际是用头脑已经验证了,但是其他题目就不一样了,举例如下

【2019届凤翔中学高三理科简易逻辑课时作业改编】已知命题\(p\)\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减,求\(m\)的取值范围是________。

【法1】:依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性,则\(1-2m>0\),解得\(m<\cfrac{1}{2}\)

【法2】:导数法,但是导数法很容易出错。

导数法:由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减,则有

\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0,+\infty)\)上恒成立,

\(2m-1\leq 0\),即\(m\leq \cfrac{1}{2}\),这个结果是错误的,

原因是缺少验证,当\(m=\cfrac{1}{2}\)时, 函数\(f(x)=0\)为常函数,

不符合题意,故舍去,即\(m<\cfrac{1}{2}\)

  • 类型2:参数包含在给定区间端点处

思路方法:集合法,由于函数中不含有参数,故用常规方法能很快求出单调区间,那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间,转化为集合的关系求解;导数法,转化为导函数不等式恒成立问题求解。

已知函数\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在区间\([a,a+1]\)上单调递减,求参数\(a\)的取值范围。[1]

分析:集合法,先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间,\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)

\(f'(x)<0\),解得\(x\in (-2,1)\),即其单调递减区间为\([-2,1]\),此处必须写成闭区间,否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\([a,a+1]\)上单调递减,故\([a,a+1]\subseteq [-2,1]\),即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\),解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)

故参数\(a\)的取值范围为\([-2,0]\)

导数法,由题设可知,\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\),由于函数在区间\([a,a+1]\)上单调递减,

\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在区间\([a,a+1]\)上恒成立,则\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\),则\(a\in [-2,0]\)

【题型Ⅱ】函数\(y=f(x)\)存在单调区间,求参数的取值范围

  • 类型1:参数包含在函数的系数中

直接法:函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上存在单调递增区间,则\(f'(x)>0\)在区间\([a,b]\)上能成立(或有解);函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上存在单调递减区间,则\(f'(x)<0\)在区间\([a,b]\)上能成立(或有解);易错警示:多添加了等号;

间接法:不存在单调递增区间,则函数为常函数或单调递减,则恒有\(f'(x)=0\)\(f'(x)\leq 0\)在区间\([a,b]\)上恒成立;不存在单调递减区间,则函数为常函数或单调递增,则恒有\(f'(x)=0\)\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a,b]\)上恒成立;

交集法:若能容易求得给定函数的单调区间,则求得的该区间和已知的单调区间求交集,即可求得参数的取值范围。

【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1\),函数\(g(x)=f(x)+2x\),且\(g(x)\)在区间\((-2,-1)\)内存在单调递减区间,求实数\(a\)的取值范围;

【法1,直接法】:\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\),则\(g'(x)=x^2-ax+2\)

\(g(x)\)在区间\((-2,-1)\)内存在单调递减区间,得到,

\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2,-1)\)上能成立,

分离参数得到,\(a < x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2,-1)\)上能成立,

\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\),当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\),即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号,

故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty,-2\sqrt{2})\)

法2:从反面入手分析,略。

已知函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax\)\(R\)上存在单调递减区间,求参数\(a\)的取值范围;

分析:由于函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax\)\(R\)上存在单调递减区间,

\(f'(x)=x^2-2x+a<0\)\(R\)上能成立,即\(a<-(x^2-2x)\)能成立,

\(g(x)=-(x^2-2x)=-(x-1)^2+1\),则\(a<g(x)_{max}=1\)

\(a<1\),故\(a\in (-\infty,1)\).

反思:若转化为\(f'(x)=x^2-2x+a\leqslant 0\)能成立,则得到\(a\leqslant 1\)

但是,\(a=1\)时,\(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0\),不满足题意,故上述转化错误;

用图像语言解释如下:

注意:若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)存在单调递减区间,应该得到\(f'(x)<0\)在区间\((a,b)\)有解或能成立,而不是\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a,b)\)有解或能成立。

学生认为:函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)存在单调递减区间,应该得到\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a,b)\)有解或能成立,这种认识是错误的,这样解释一下啊,

\(f'(x)\leqslant 0\)在区间\((a,b)\)上有解,对应情形一:\(f'(x)<0\)在区间\((a,b)\)上有解;或情形二:\(f'(x)=0\)在区间\((a,b)\)上有解;这两个情形只要有一个满足即可,其中情形一求解结果是区间,而情形二求解结果不是区间,故不符合题意,自然就舍去了。

  • 类型2:参数包含在给定区间端点处

思路方法:用常规方法求出单调区间,转化为集合之间的包含关系求解;

[自编]已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)存在单调递减区间\((a,a+1)\),求参数\(a\)的取值范围;

分析:由\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\),则可知函数\(f(x)\)的单调递减区间为\([-1,1]\)

又由题设可知,函数\(f(x)=x^3-3x+1\)存在单调递减区间\((a,a+1)\)

\(f'(x)=3x^2-3<0\)在区间\((a,a+1)\)上恒成立,注意:此处不是能成立;

即有\((a,a+1)\subseteq [-1,1]\),即满足\(\left\{\begin{array}{l}{a<a+1}\\{a\geqslant -1}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)

解得,\(-1\leqslant a\leqslant 0\),即\(a\in [-1,0]\)

解后反思:①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型,否则就不能保证存在这样的单调区间\((a,a+1)\)

②此类题目在命制时要注意,给定的单调区间\(A\)和求解得到的单调区间\(B\)的关系,\(A\subseteq B\),否则解集为空集。比如将题目中的单调区间\((a,a+1)\)更改为单调区间\((a-2,2a+1)\),则解集\(a\in \varnothing\)

【2019石家庄质检】【综合题目】已知函数\(f(x)=lnx\)\(g(x)=\cfrac{1}{2}ax^2+2x(a\neq 0)\)

①若函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)存在单调递减区间,求\(a\)的取值范围;

分析:\(h(x)=lnx-\cfrac{1}{2}ax^2-2x\)\(x\in (0,+\infty)\)

所以\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-ax-2\),由于\(h(x)\)\((0,+\infty)\)上存在单调递减区间,

所以当\(x\in (0,+\infty)\)时,\(\cfrac{1}{x}-ax-2<0\)有解,[注意:转化为\(h'(x)\leqslant 0\)是错误的]

\(a>\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\)有解,设\(G(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\)

所以只要\(a>G(x)_{min}\)即可。

\(G(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}=(\cfrac{1}{x}-1)^2-1\),则\(G(x)_{min}=-1\)

所以\(a>-1\),又由于\(a\neq 0\)

\(a\)的取值范围为\((-1,0)\cup(0,+\infty)\)

②若函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)在区间\([1,4]\)上单调递减,求\(a\)的取值范围;

分析:由于\(h(x)=f(x)-g(x)\)在区间\([1,4]\)上单调递减,

故当\(x\in [1,4]\)时,\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-ax-2\leqslant 0\)恒成立;

\(a\geqslant \cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\)恒成立,

由①可知,\(G(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\),所以\(a\geqslant G(x)_{max}\)

\(G(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}=(\cfrac{1}{x}-1)^2-1\)

\(x\in [1,4]\),所以\(\cfrac{1}{x}\in [\cfrac{1}{4},1]\)

\(G(x)_{max}=-\cfrac{7}{16}\)(此时\(x=4\)),

所以\(a\geqslant -\cfrac{7}{16}\),又由于\(a\neq 0\)

所以\(a\)的取值范围为\([-\cfrac{7}{16},0)\cup(0,+\infty)\)

函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5\)在区间\([-1,2]\)上不单调,则实数\(a\)的取值范围是_________。

法1:间接法,从反面入手,利用补集思想,\(f'(x)=x^2-2x+a\)

若函数\(f(x)\)\([-1,2]\)上单增,则\(f'(x)=x^2-2x+a\ge 0\)恒成立,

分离参数得到\(a\ge -x^2+2x\)恒成立,

\([-1,2]\)上求得函数\(f(x)_{max}=1\),故\(a\ge 1\)

若函数\(f(x)\)\([-1,2]\)上单减,则\(f'(x)=x^2-2x+a\leq 0\)恒成立,

分离参数得到\(a\leq -x^2+2x\)恒成立,

\([-1,2]\)上求得函数\(f(x)_{min}=-3\),故\(a\leq -3\)

则当\(a\leqslant -3\)\(a\geqslant 1\)时,函数函数\(f(x)\)\([-1,2]\)上单调,

故取其补集,当\(-3< a <1\)时,函数\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上不单调。

法2:从正面入手分析,直接法,由题可知\(f(x)\)不单调,则导函数\(y=f'(x)\)开区间\((-1,2)\)注意此处必须是开区间\((-1,2)\)而不能是闭区间\([-1,2]\),如果是闭区间,且导函数刚好只过点\(x=-1\),在\((-1,2]\)上为正,则此时原函数是单调递增的至少有一个变号零点,

当只有一个变号零点时,由\(f'(-1)\cdot f'(2)< 0\)可得,\(-3< a< 0\)

当有两个变号零点时,由\(\begin{cases}f'(-1)\geqslant0\\f'(2)\geqslant0\\\Delta >0\end{cases}\),解得\(0\leqslant a<1\)

综上所述,实数\(a\)的取值范围是\((-3,1)\)

解后反思:其实应该转化为导函数\(y=f'(x)\)在区间\((-1,2)\)上至少有一个变号零点,不应该包含端点值,如果是仅仅过一个端点值,或者刚好过两个端点值时,函数都是单调的。

法3:(转化为方程有解类型求解)由法2可知,导函数\(y=f'(x)\)在区间\([-1,2]\)上至少有一个变号零点,

即方程\(f'(x)=0\)至少有一个解,故\(a=-x^2+2x\)\([-1,2]\)上至少有一个解,

到此转化为方程有解类型,需要求函数的值域。

需要求出函数\(y=-x^2+2x,x\in [-1,2]\)上的值域\([-3,1]\)

由于上述的转化过程不是等价的等价的转化应该是方程\(f'(x)=0\)在区间\([1,2]\)上至少有一个解,且解不能是切点解必须是穿根解,且还不能是过区间端点的穿根解;,故需要检验。

\(a=-3\)时,\(f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\),此时若\(x\in [-1,2]\)

则有\(f'(x)\leq 0\)恒成立,故函数\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上单调递减,

不符合题意,舍去;

\(a=1\)时,\(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\),此时若\(x\in [-1,2]\)

则有\(f'(x)\ge 0\)恒成立,故函数\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上单调递增,

不符合题意,舍去;故实数\(a\)的取值范围是\((-3,1)\)

解后反思:若能直接转化为导函数\(y=f'(x)\)在区间\((-1,2)\)上至少有一个变号零点,就省却了验证了。

探究性问题

【2018兰州模拟改编】已知函数\(f(x)=\cfrac{1}{2}x^2-2alnx+(a-2)x\),是否存在实数\(a\),使得函数\(g(x)=f(x)-ax\)\((0,+\infty)\)上单调递增,若存在,求出\(a\)的取值范围;若不存在,说明理由。

解析:假设存在实数\(a\),使得函数\(g(x)=f(x)-ax\)\((0,+\infty)\)上单调递增,

\(g'(x)=f'(x)-a=x-\cfrac{2a}{x}-2\geqslant 0\)恒成立,

\(2a\leqslant x^2-2x\)\((0,+\infty)\)上恒成立,

而函数\(h(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\),则\(h(x)_{min}=-1\)

\(2a\leqslant -1\),即\(a\leqslant -\cfrac{1}{2}\)

\(a=-\cfrac{1}{2}\)时,原函数\(g(x)\)明显不是常函数,故满足题意;

综上所述,\(a\in (-\infty,-\cfrac{1}{2}]\)

【2019.安徽江淮十校第三次联考】设函数 \(f(x)=\cfrac{1}{2}x^{2}-9\ln x\) 在区间\([a-1, a+1]\)上单调递减,则实数 \(a\) 的取值范围是【 \(\quad\)

$A.1 < a \leqslant 2$ $B.a \geqslant 4$ $C.a \leqslant 2$ $D.0 < a \leqslant 3$

分析:易知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \((0,+\infty)\)\(f'(x)=x-\cfrac{9}{x}\)

\(f'(x)=x-\cfrac{9}{x}<0\),解得\(0<x<3\),故单调递减区间为\((0,3]\)此处注意,由于要求参数的取值范围,故单调区间的端点值的有无是很关键,必须仔细考虑

又由于函数\(f(x)\)在区间\([a-1, a+1]\)上单调递减,则\([a-1,a+1]\subsetneqq (0,3]\)

\(\left\{\begin{array}{l}{a-1>0}\\{a+1\leqslant 3}\end{array}\right.\) 解得,\(1<a\leqslant 2\),故选\(A\);

变式训练

函数\(f(x)=x^2-e^x-ax\)\(R\)上存在单调递增区间,求参数\(a\)的取值范围;

提示:导数法,\(f'(x)>0\)有解,分离参数,再转化为求新函数的最值问题即可,结果:\(a\in (-\infty,2ln2-2)\)

【2020\(\cdot\)成都模拟】已知函数 \(f(x)=-\cfrac{1}{2}x^{2}+4x-3\ln x\) 在区间\([t, t+1]\)上不单调,则\(t\) 的取值范围是_________.

解析:由题意知 \(f'(x)=-x+4-\cfrac{3}{x}=-\cfrac{(x-1)(x-3)}{x}\)

\(f'(x)=0\) 得函数 \(f(x)\)的两个极值点为\(1\)\(3\)

则只要这两个极值点有一个在区间\((t,t+1)\)内部函数的极值点不会在区间的端点处取到,故此处采用开区间。当然也可能两个极值点都在给定区间内,但本题目中两个极值点的间距为\(2\),给定区间的宽度为\(1\),故只能是有一个在给定区间内。

函数 \(f(x)\)在区间 \([t, t+1]\) 上就不单调,

所以\(1\in(t, t+1)\)\(3\in(t, t+1)\)

\(\left\{\begin{array}{l}{t<1},\\{t+1>1}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{t<3}\\{t+1>3}\end{array}\right.\)

解得\(0<t<1\)\(2<t<3\),故填写 \((0,1)\cup(2,3)\)

【2019 龙泉二中月考】若函数 \(f(x)=x^{3}-12x\) 在区间 \((k-1, k+1)\) 上不是单调函数,则实数 \(k\) 的取值范围是【\(\quad\)

$A.$$k\leqslant-3$或$-1\leqslant k\leqslant1$或$k\geqslant 3$
$B.$不存在这样的实数$k$
$C.$ $-2< k <2$
$D.$ $-3< k <-1$或$1< k <3$

解析: 因为 \(f(x)=x^{3}-12x\), 所以 \(f'(x)=3x^2-12\)

\(f'(x)=0\), 解得 \(x=-2\)\(x=2\)

若函数 \(f(x)=x^{3}-12x\)\((k-1, k+1)\)上不是单调函数,

则方程 \(f'(x)=0\)\((k-1, k+1)\) 内有解,

所以 \(k-1<-2<k+1\)\(k-1<2<k+1\)

解得 \(-3<k<-1\)\(1<k<3\),故选\(D\).


  1. 集合的关系习题 ↩︎

posted @ 2019-07-08 09:45  静雅斋数学  阅读(1358)  评论(0编辑  收藏  举报
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