涂色问题

前言

处理策略

典例剖析

给一个各边不等的凸五边形的各边涂色，每边可以涂红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？

分析：将凸五边形的各边依次编号为①②③④⑤，

\(1^{\circ}\)，当①③用同种颜色时，则①有3种颜色，②有2种颜色，③有1种颜色，④有2种颜色，⑤有1种颜色，

故\(N_1=3\times 2\times 1\times 2\times1=12\)种；

\(2^{\circ}\)，当①③用不同颜色时，则①有3种颜色，②有2种颜色，③有1种颜色，

此时若①④同色，则④有1种颜色，⑤有2种颜色，

此时若①④不同色，则④有1种颜色，⑤有1种颜色，

故\(N_2=3\times 2\times 1\times( 1\times 2+1\times1)=18\)种；

综上，共有\(N=12+18=30\)种；

【2018安徽合肥三模】如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为【】

$A.24$ $B.48$ $C.96$ $D.120$

解析：此类题目一般都需要用到分类讨论，不妨取红、黄、蓝、白四种颜色，

若\(A\)，\(D\)颜色相同，先涂\(E\)有4种涂法(红、黄、蓝、白；不妨选红)，再涂\(A\)和\(D\)有3种涂法(黄、蓝、白；不妨选黄)，再涂\(B\)有2种涂法(蓝、白；不妨选蓝)，\(C\)只有1种涂法(白)，共有\(4×3×2×1＝24\)(种)；

若\(A\)，\(D\)颜色不同，先涂\(E\)有4种涂法(红、黄、蓝、白；不妨选红)，再涂\(A\)有3种涂法(黄、蓝、白；不妨选黄)，再涂\(D\)有2种涂法(蓝、白；不妨选蓝)，

此时当\(B\)和\(D\)相同时，\(C\)有2种涂法，

当\(B\)和\(D\)不同时，\(B\)，\(C\)只有1种涂法，

共有\(4×3×2×(2＋1)＝72\)(种)，

根据分类加法计数原理可得，共有\(24＋72＝96\)(种)，故选\(C\).

法2：先涂\(A\)有\(C_4^1\)种，涂\(B\)有\(C_3^1\)种，涂\(E\)有\(C_2^1\)种，涂\(D\)有\(C_2^1\)种，涂\(C\)有\(C_2^1\)种，故有\(C_4^1\cdot C_3^1\cdot C_2^1\cdot C_2^1\cdot C_2^1=96\)种。

【北师大版选修2-3\(P_{22}B\)组第2题】将3种作物种植在5块如图的试验田中，每块试验田种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，则共有多少种不同的种植方法？

法1：

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