离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列。
前言
为什么要研究离散型随机变量和其分布列？
相关概念
- 随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。常用字母\(X\)，\(Y\)，\(\xi\)，\(\eta\)等表示。
- 离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量。
- 连续型随机变量
所有取值在某个区间的随机变量称为连续型随机变量，比如某种电子产品的使用寿命\(X\)，可以取\([0，b]\)或\([0，+\infty)\)内的一切值。
- 离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量\(X\)可能取的不同值为\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_i\)，\(\cdots\)，\(x_n\)，\(X\)取每一个值\(x_i(i＝1,2，…，n)\)的概率为\(P(X＝x_i)＝p_i\)，则称表
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_i\) | \(\cdots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_i\) | \(\cdots\) | \(p_n\) |
为离散型随机变量\(X\)的概率分布列，简称为\(X\)的分布列，有时为了简单起见，也用等式\(P(X＝x_i)＝p_i\)，\(i＝1,2，\cdots，n\)表示\(X\)的分布列。
- 离散型随机变量的均值
称为离散型随机变量 \(X\) 的均值或数学期望，其刻画的是离散型随机变量 \(X\) 取值的平均水平。[1]
- 离散型随机变量的方差
为随机变量\(X\)的方差，它刻画了随机变量\(X\)与其均值\(E(X)\)的平均偏离程度，其算术平方根\(\sqrt{D(X)}\)为随机变量\(X\)的标准差。[2]
相关性质
- 离散型随机变量的均值
对比：如果数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的平均数为\(\bar{x}\)，则数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)的平均数为\(a\bar{x}+b\)；
- 离散型随机变量的方差
对比：如果数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差为\(s^2\)，则数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)的方差为\(a^2\cdot s^2\)；
常见分布列
- 两点分布
若随机变量的分布列为
| \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(1-p\) | \(p\) |
则称\(X\)服从两点分布，也称为“0-1”分布，并称\(p=P(X=1)\)为成功概率，当然其中的“成功”只是个抽象的说法。两点分布是二项分布的特例，在二项分布中，当\(n=1\)时，即为两点分布；此时\(E(X)=1\times p=p\)，\(D(X)=1\cdot p\cdot (1-p)=p(1-p)\)；
- 超几何分布
一般的，在含有\(M\)件次品的\(N\)件产品中，任取\(n\)件，其中恰有\(X\)件次品，则\(P(X=k)=\cfrac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，m\))，其中\(m=min\{M，n\}\)，且\(n\leq N\)，\(M\leq N\)，\(n\)，\(M\)，\(N\in N^*\)，称这样的分布列为超几何分布列，如果随机变量\(X\)的分布列具有下表的形式，则称随机变量\(X\)服从超几何分布。
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(m\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\cfrac{C_M^0C_{N-M}^{n-0}}{C_N^n}\) | \(\cfrac{C_M^1C_{N-M}^{n-1}}{C_N^n}\) | \(\cfrac{C_M^2C_{N-M}^{n-2}}{C_N^n}\) | \(\quad\cdots\quad\) | \(\cfrac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}\) |
如果\(X\)服从参数为\(n\)，\(M\)，\(N\)，记作\(X\sim H(n，M，N)\)，(超几何分布)，其数学期望\(E(X)=\cfrac{nM}{N}\)。
- 二项分布
一般的，在\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的次数为\(X\)，每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\)，则事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率为\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此时称随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，并称\(p\)为成功概率。
解释：二项展开式\([p+(1-p)]^n\)中，事件\(A\)发生\(k\)次，即对应展开式中的含\(p^k\)的项，其为\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\)，即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，
若随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，则\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；
典例剖析
- 考点：离散型随机变量的分布列的应用
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\cfrac{1}{3}\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(\cfrac{1}{6}\) |
那么这两个人各自通过考试的概率的最小值为【】
分析：先令甲乙分别通过考试为为事件\(A\)和\(B\)，这两个人各自通过考试的概率，即意味着我们需要分别求解\(P(A)\)和\(P(B)\)，
再分析给定的分布列，当\(x=0\)时，即两个人都没有通过考试，当\(x=2\)时，即两个人都通过了考试。故求解如下：
解：令甲乙分别通过考试为为事件\(A\)和\(B\)，则事件\(A\)和\(B\)，\(\bar{A}\)和\(B\)，\(A\)和\(\bar{B}\)，\(\bar{A}\)和\(\bar{B}\)之间都是相互独立的，
故有\([1-P(A)][1-P(B)]=\cfrac{1}{3}\)，\(P(A)\cdot P(B)=\cfrac{1}{6}\)，解方程得到
\(P(A)=\cfrac{1}{2}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{3}\)，或\(P(A)=\cfrac{1}{3}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{2}\)，
故这两个人各自通过考试的概率的最小值为\(\cfrac{1}{3}\)，故选\(B\)。
- 考点：离散型随机变量的均值应用
（1）. 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率。
解法1：利用排列数公式和古典概型求解；
\(P=\cfrac{A_2^1A_3^1}{A_5^2}=\cfrac{3}{10}\)
解法2：利用相互独立事件求解；
第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为\(P=\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{10}\)
（2）. 已知每检测一件产品需要费用100元，设\(X\)表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费（单位：元），求\(X\)的分布列和数学期望。
解：先设检测过的产品数为\(x\)，则由题目可知\(x=2，3，4\)
其中\(x=2\)时对应“次次”一种；
其中\(x=3\)时对应“正次次、次正次、正正正”三种；
其中\(x=4\)时对应“正次正次、正正次次、次正正次、次正正正、正正次正、正次正正”六种；
故\(X\)的所有可能取值为\(200，300，400\)，(注意：由于是无放回的，故有顺序，故用排列而不是组合)
\(P(X=200)=\cfrac{A_2^2}{A_5^2}=\cfrac{1}{10}\)，
\(P(X=300)=\cfrac{A_3^3+C_2^1\cdot C_3^1\cdot C_1^1+C_3^1\cdot A_2^2}{A_5^3}=\cfrac{3}{10}\)，
\(P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=\cfrac{6}{10}\)，[3]
故 \(X\) 的分布列为
| \(X\) | \(200\) | \(300\) | \(400\) |
|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\cfrac{1}{10}\) | \(\cfrac{3}{10}\) | \(\cfrac{6}{10}\) |
\(E(X)=200\times \cfrac{1}{10}+300\times \cfrac{3}{10}+400\times \cfrac{6}{10}=350\)
(1).求这一技术难题被攻克的概率。
分析：“这一技术难题被攻克”，意味着至少有一人攻克了技术难题，其对立面是“无人攻克”，
【法1】：间接法，正难则反，从对立事件入手分析求解，
\(P=1-(1-\cfrac{1}{4})\cdot (1-\cfrac{2}{5})\cdot (1-\cfrac{3}{4})=\cfrac{71}{80}\)
【法2】：直接法，仿上分析求解。
(2).若该技术难题未被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励\(6\)万元。奖励规则如下：若只有一人攻克，则此人获得全部奖金\(6\)万元；若只有\(2\)人攻克，则此二人均分奖金，每人\(3\)万元；若三人均攻克，则每人\(2\)万元。在这一技术难题被攻克的前提下，设甲拿到的奖金数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望。
分析：对甲而言，技术难题的攻克，可能仅仅甲没有攻克而乙丙至少有一人攻克；或仅仅甲一人攻克；或甲和其他两人攻克；或甲和其他三人攻克，
故\(X\)的所有可能取值为\(0\)，\(2\)，\(3\)，\(6\)，
\(X=0\)意味着“甲没有攻克而乙丙至少有一人攻克”；
\(P(X=0)=\cfrac{\frac{3}{4}\times [1-(1-\frac{2}{5})(1-\frac{3}{4})]}{\frac{71}{80}}=\cfrac{51}{71}\)；
\(X=2\)意味着“甲乙丙三人都攻克”；
\(P(X=2)=\cfrac{\frac{1}{4}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{4}}{\frac{71}{80}}=\cfrac{6}{71}\)；
\(X=3\)意味着“甲乙攻克丙没有攻克，或者甲丙攻克而乙没有攻克”；
\(P(X=3)=\cfrac{\frac{1}{4}(\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{2}{5}\times \frac{1}{4})}{\frac{71}{80}}=\cfrac{11}{71}\)；
\(X=6\)意味着“只有甲攻克而乙丙都没有攻克”；
\(P(X=6)=\cfrac{\frac{1}{4}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{4}}{\frac{71}{80}}=\cfrac{3}{71}\)；
故 \(X\) 的分布列为
| \(X\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(\cfrac{51}{71}\) | \(\cfrac{6}{71}\) | \(\cfrac{11}{71}\) | \(\cfrac{3}{71}\) |
\(E(X)=0\times \cfrac{51}{71}+2\times \cfrac{6}{71}+3\times\cfrac{11}{71}+6\times \cfrac{3}{71}=\cfrac{63}{71}\)(万元)。
它和 \(\bar{x}\)\(=\)\(\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\) 是一致的吗？一致的，上述的概念实质是\(x_i\)加权平均值。 ↩︎
它和 \(s^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^2\right]\)的定义是一致的吗？一致的，上述的概念实质是\((x_i-E(X))^2\)的加权平均值。 ↩︎
详解：\(P(X=400)\)\(=\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{6}{10}\) ↩︎
