随机抽样

前言

\(\textbf{抽样比}=\cfrac{\textbf{样本容量}}{\textbf{总体容量}}=\cfrac{\textbf{各层样本容量}}{\textbf{各层个体容量}}\)

抽样方法

• 简单随机抽样：抽签法和随机数表法

• 系统抽样

• 分层抽样

• 三种抽样方法的区别和联系

运算技巧

• \(A，B，C\)三种不同型号的产品，数量比为\(3：4：7\)，分层抽样抽出容量为\(n\)的样本，样本中\(A\)产品有\(15\)件，求样本容量\(n\)。

法1：\(\cfrac{3}{3+4+7}\times n=15\)，解得\(n=70\)；

法2：引入比例因子，三种产品的数量分别为\(3k，4k，7k\)，则\(3k=15\)，即\(k=5\)，

故样本容量为\(n=3k+4k+7k=14k=14\times 5=70\)；

• 利用随机数表法时，由于每一位上的数字都是随机等可能出现的，故读数的方向可以向左、向右，也可以向上、向下，甚至斜向读数都可以，一般从左向右读数。

福利彩票“双色球”中红色球的编号有 \(33\) 个, 分别为 \(01\)，\(02\)， \(\cdots\)， \(33\)， 某彩民利用下面们随机数表选取 \(6\) 组数作为 \(6\) 个红色球的编号， 选取方法是从随机数表第 \(1\) 行的第 \(6\) 列和第 \(7\) 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第 \(6\) 个红色球的编号为 【\(\qquad\)】

$A.23$ $B.09$ $C.02$ $D.17$

解析: 从随机数表第 \(1\) 行的第 \(6\) 列和第 \(7\) 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的 \(6\) 个红色球的编号依次为 \(21\)，\(32\) ， \(09\) ， \(16\)，\(17\) ，\(02\) ，故选出的第 \(6\) 个红色球的编号为 \(02\) . 答案: \(C\) .

典例剖析

【概念辨析】在\(100\)个零件中，有一级品\(20\)个，二级品\(30\)个，三级品\(50\)个，从中抽取\(20\)个作为样本：

①采用随机抽样法，将零件编号为\(00\)，\(01\)，\(\cdots\)，\(99\)，抽出20个；

②采用系统抽样法，将所有零件分成\(20\)组，每组\(5\)个，然后每组中随机抽取一个；

③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取\(4\)个，二级品中抽取\(6\)个，三级品中抽取\(10\)个，则【\(\qquad\)】

\(A.\)不论采用哪种抽样方法，这\(100\)个零件中每个被抽到的概率都是\(\cfrac{1}{5}\)

\(B.\)①②两种抽样方法，这\(100\)个零件中每个被抽到的概率都是\(\cfrac{1}{5}\)，③并非如此

\(C.\)①③两种抽样方法，这\(100\)个零件中每个被抽到的概率都是\(\cfrac{1}{5}\)，②并非如此

\(D.\)采用不同的抽样方法，这\(100\)个零件中每个被抽到的概率各不相同

分析：根据三种抽样的定义，简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是随机抽样，每个个体被抽到的概率都相等，都是等概率抽样。故选\(A\)。

解后反思：

• 总体容量为\(N\)，样本容量为\(n\)，不论哪一种抽样方法，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率都为\(\cfrac{n}{N}\)；

• 原理：总体容量为\(N\)，样本容量为\(n\)，求个体\(a\)被抽到的概率。

分析：从\(N\)个任意抽取\(n\)个的所有可能为\(C_N^n\)种，其中抽到个体\(a\)的可能为\(C_1^1\cdot C_{N-1}^{n-1}\)种，

故个体\(a\)被抽到的概率为\(P=\cfrac{C_1^1\cdot C_{N-1}^{n-1}}{C_N^n}=\cfrac{A_{N-1}^{N-1}/A_{n-1}^{n-1}}{A_N^N/A_n^n}=\cfrac{A_{N-1}^{N-1}\cdot A_n^n}{A_N^N\cdot A_{n-1}^{n-1}}=\cfrac{n}{N}\)。

• 总体容量为\(362\)，样本容量为\(40\)，再采用系统抽样方法抽取，此时需要先剔除\(2\)个个体，则此时每一个个体如\(A\)，被抽到的概率还是\(\cfrac{40}{362}\)；

分析：个体\(A\)被抽到，需要第一次抽取时未被剔除，其概率为\(\cfrac{360}{362}\)；而第二次个体\(A\)必须被抽到，其概率为\(\cfrac{40}{360}\)，故个体\(A\)被抽到的概率为\(\cfrac{40}{362}\).

【和数列交汇命题】从编号为\(001\)，\(002\)，\(\cdots\)，\(500\)的\(500\)个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号为\(007\)，\(032\)，则样本中最大的编号应该为___________；

分析：系统抽样得到的样本编号成等差数列，令\(a_1=7\)， \(a_2=32\)，\(d=25\)，所以\(a_n=7+25(n-1)\leq 500\)，所以\(n\leq 20\)，最大编号为\(7+25\times 19=482\)。

【分类讨论】某设计院有工程师\(6\)人，技术员\(12\)人，技工\(18\)人，要从这些人中抽取\(n\)个人参加大会。如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求\(n\)。

分析：总体容量为\(6+12+18=36\)，

当样本容量是\(n\)，由题意可知，系统抽样的间隔为\(\cfrac{36}{n}\)，

分层抽样的比例是\(\cfrac{n}{36}\)，抽取的工程师人数为\(\cfrac{n}{36}\times 6=\cfrac{n}{6}\)，

抽取的技术员人数为\(\cfrac{n}{36}\times 12=\cfrac{n}{3}\)，抽取的技工人数为\(\cfrac{n}{36}\times 18=\cfrac{n}{2}\)，

所以\(n\)应该是\(6\)的倍数，\(36\)的约数，即\(n=6，12，18\)，

当样本容量为\((n+1)\)时，总体容量是\(35\)人，系统抽样的间隔为\(\cfrac{35}{n+1}\)，

由于\(\cfrac{35}{n+1}\)必须是整数，所以\(n\)只能取\(6\)，即样本容量为\(n=6\)。

利用简单随机抽样， 从 \(n\) 个个体中抽取一个容量为 \(10\) 的样本。 若第二次抽取时， 余下的每个个体被抽到的概率为 \(\cfrac{1}{3}\)， 则在整个抽样过程中， 每个个体被抽到的概率为____________.

解析 : 根据题意， \(\cfrac{9}{n-1}=\cfrac{1}{3}\) ，解得 \(n=28\)。 故每个个体被抽到的概率为 \(\cfrac{10}{28}=\cfrac{5}{14}\).

用简单随机抽样的方法从含有 \(10\) 个个体的总体中抽取一个容量为 \(3\) 的样本，其中某一个个体 \(a\) “第一次被抽到” 和 “第二次被抽到” 的可能性为 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{10}, \cfrac{1}{10}$ $B.\cfrac{3}{10}, \cfrac{1}{5}$ $C.\cfrac{1}{5}, \cfrac{3}{10}$ $D.\cfrac{3}{10}, \cfrac{3}{10}$

解析: 在抽样过程中，个体 \(a\) 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为\(10\) ，故个体 \(a\) “第一次被抽到” 的可能性与 “第二次被抽到” 的可能性均为 \(\cfrac{1}{10}\)，故选 \(A\) .