圆的方程
与圆的方程有关的都加以整理，大一统，可以看看。
方程推导
利用定义式推导；
常见给出方式
-
定义式：\(|OA|=r\)
-
标准式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；
-
一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) \((D^2+E^2-4F>0)\)任意一个圆都可以表达成一个二元二次方程，且不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉项；但是任意一个不含有 \(x\) 和 \(y\) 的交叉项的二元二次方程不一定都能刻画一个圆，必须满足一定的条件，比如\(D^2\)\(+\)\(E^2\)\(-\)\(4F\)\(>\)\(0\)；
-
直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)[其中\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)是圆直径的两端点坐标][1]
-
参数式：\(\left\{\begin{array}{l}{x=r\cdot \cos\theta}\\{y=r\cdot \sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数) 或以点的坐标形式给出 \((r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)\)
-
极坐标式：\(\rho=3，\theta\in [0，2\pi)\)
-
向量式：已知点\(M\)为曲线上的动点，点\(A,B\)为两个定点，且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，则点\(M\)的轨迹方程是圆。
-
复数式：已知复数 \(z=a+bi\)，\(a,b\in R\)，满足 \(|z|=1\) 或满足 \(|\overrightarrow{OZ}|=1\) ，即复数对应的点 \(Z(a,b)\) 的轨迹是 以 \(O\) 为圆心半径为 \(1\) 的圆；再如 \(2\)\(\leqslant\)$ |z-(2+i)|$$\leqslant$$3$，刻画的是复平面内以复数 \(2+i\) 对应的点为圆心，以 \(2\) 和 \(3\) 为半径的两个圆所夹的圆环，包含内外边界。
特殊圆的方程
| 圆心在坐标原点 | \(x^2+y^2=r^2\) |
| 圆心在\(x\)轴上 | \((x-a)^2+y^2=r^2\) |
| 圆心在\(y\)轴上 | \(x^2+(y-a)^2=r^2\) |
| 经过原点 | \((x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2\)(\(a\),\(b\)不同时为\(0\)) |
| 与\(x\)轴相切 | \((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\)(\(b\neq 0\)) |
| 与\(y\)轴相切 | \((x-a)^2+(y-b)^2=a^2\)(\(a\neq 0\)) |
| 与坐标轴都相切 | \((x\pm a)^2+(y\pm a)^2=a^2\)(\(a\neq 0\)) |
| 以\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\)为直径的两端点 | \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\) |
运算技巧
配方法，普通方程，极坐标式方程，参数式方程的互化；
圆切线相关
有空加以证明或验证说明，并配图说明
➊过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\(x_0x+y_0y=r^2\) ；[2]
➋过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)；
➌过圆\(x^2+y^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的两条切线，切点分别为\(A\)，\(B\) ，则过\(A\)，\(B\)两点的直线方程为\(x_0x+y_0y=r^2\)；
➍过圆\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)(\(D^2+E^2-4F>0\))外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的切线，切点为\(T\)，则\(|PT|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}\)
➎过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的两条切线，切点分别为\(A\)，\(B\)，则直线\(AB\)的方程(切点弦所在的直线方程)为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)；
➏过圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一点\(P(x_0,y_0)\)做圆的切线，切点为\(T\)，则\(|PT|=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}\)，
点圆位置关系
给定点\(P(x_0，y_0)\)，和圆\(x^2+y^2=R^2\)，则该点和该圆的位置关系有三种，
从形的角度刻画：点在圆外，点在圆上，点在圆内，配图可自行制作；
从数的角度刻画[注意和上面的对应]：\(x_0^2+y_0^2>R^2\)，\(x_0^2+y_0^2=R^2\)，\(x_0^2+y_0^2<R^2\)，
类比上述情形，我们也可以写出其他点和圆的位置关系的数的表达不等式；
典例剖析
(1)、求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围；
分析：圆的标准方程为\((x-3)^2+y^2=2^2\)，
故圆心坐标\(C_1(3，0)\)，半径为\(r=2\)，
设直线\(l\)的方程为\(y=kx\)，即\(kx-y=0\)，
则圆心\(C_1\)到直线\(l\)的距离\(d=\cfrac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}< 2\)，
解得\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}< k< \cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)；
(2)、求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程。
分析【法1】：设直线\(AB\)的方程为\(y=kx\)，点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)
与圆\(C_1\)联立，消\(y\)得到，\((1+k^2)x^2-6x+5=0\)，
由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\)，可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，
由韦达定理可得，\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\)，
则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\)，其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，
如何消参数呢？两式相比，得到\(y=kx\)，即\(k=\cfrac{y}{x}\)，代入①变形整理后得到，\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，
又由于\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)，
故线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程为\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。
【法2】有空，再思考补充 点差法。 \((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2)\)。
分析：设\(\Delta PAB\)底边\(AB\)上的高线为\(h\)，则\(S_{\Delta PAB}=\cfrac{1}{2}\cdot AB \cdot h\)，由于\(AB\)是定长的，故其面积的最小值取决于\(h\)的最小值。
【法1】：利用圆的特殊性，用几何方法求解高线的最小值；
【法2】：平行线法，
【法3】：三角函数法+圆的参数方程法
分析：由于点\(P\)在双曲线右支上，故满足\(|PF_1|-|PF_2|=2a\)，
又由于\(M\)是线段\(PF_{1}\)的中点，则\(|MF_{1}|=|PM|=\cfrac{1}{2}|PF_{1}|\)，
又由于\(O\)是线段\(F_{1}F_{2}\)的中点，则\(|MO|=\cfrac{1}{2}|PF_{2}|\)，则\(\cfrac{1}{2}|PF_{1}|-\cfrac{1}{2}|PF_{2}|=a\)，
即得到\(|MF_{1}|-|OM|=a\)，从而有\(|OM|=|MF_{1}|-a\)，
即圆心距等于两圆的半径之差，故以线段\(PF_{1}\)为直径的圆与圆\(x^{-2}+y^{2}=a^{2}\)的位置关系是相内切，故选\(B\).
有时候，圆或者半圆会以函数的形式出现，此时一般都会是根式函数的形式；
分析：见到曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，既要能看到其是二次函数和根式函数的复合函数，也要能看到两边同时平方后，能和半圆联系起来，用后者的思路求解此题目就更简单。
解析：由曲线 \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) \((0\leqslant x\leqslant 2)\)，两边同时平方，
同解变形为\((x-1)^2+y^2=1(y\geqslant 0)\)，这是个圆心在点 \((1,0)\)，半径为 \(1\) 的 \(x\) 轴上方的半圆；
在同一个坐标系中，做出两个函数的图像，从形的角度入手分析，利用数形结合求解即可；
直线 \(y=k(x-2)+2\) 经过点 \((2,2)\) 和 \((0,0)\) 时，斜率为\(1\)；
当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之一：令\(\angle ABx=\theta\)，
则\(\tan\theta=2\)，由此求得\(\tan2\theta=\cfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=-\cfrac{4}{3}\)，
故直线和曲线相切时的斜率\(k=\cfrac{3}{4}\)，
由图像可知，直线和曲线仅有两个交点时， \(k\in(\cfrac{3}{4}, 1]\)，
当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之二：利用导数求解，略；
当直线和半圆相切时，直线斜率的求法思路之三：利用点 \((1,0)\) 到直线的距离\(d=r=1\)来求解，
点 \((1,0)\) 到直线 \(y=k(x-2)+2\)，即直线 \(kx-y-2k+2=0\) 的距离 \(d=\cfrac{|k\times 1-0-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1\)，
化简为 \(|k-2|=\sqrt{k^2+1}\)，解得 \(k=\cfrac{3}{4}\)，故直线和半圆相切时的斜率为 \(k=\cfrac{3}{4}\) .
证明：法1，可以用向量式证明。
设圆上动点为\(P(x，y)\)，则当点\(P\)不同于点\(A\)和点\(B\)时，总有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)，
而\(\overrightarrow{AP}=(x-x_1，x-x_2)\)，\(\overrightarrow{BP}=(y-y_1，y-y_2)\)，
当点\(P\)和点\(A\)重合，或和点\(B\)重合时，也满足上述条件；
故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其为圆的直径式方程。
[其中圆的直径的端点是\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)]。
证明：法2，可以借助圆方程的标准形式来证明。
由于圆直径的端点是 \(A(x_1,y_1)\) ， \(B(x_2,y_2)\)，
则圆心坐标为 \((\cfrac{x_1+x_2}{2},\cfrac{y_1+y_2}{2})\)，圆的半径为 \(r=\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)，
将其代入圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，得到，
\((x-\cfrac{x_1+x_2}{2})^2+(y-\cfrac{y_1+y_2}{2})^2=\left [\cfrac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\right]^2\)，
即\(x^2-(x_1+x_2)x+\cfrac{(x_1+x_2)^2}{4}\)+\(y^2-(y_1+y_2)y+\cfrac{(y_1+y_2)^2}{4}=\cfrac{(x_1-x_2)^2}{4}\)+\(\cfrac{(y_1-y_2)^2}{4}\)，
整理得到，\([x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]+ [y^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2]=0\)，
即可化为 \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其为圆的直径式方程。
可以用向量式证明。设圆上动点为\(P(x，y)\)，则当点\(P\)不同于点\(A\)和点\(B\)时，总有\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)
而\(\overrightarrow{AP}=(x-x_1，x-x_2)\)，\(\overrightarrow{BP}=(y-y_1，y-y_2)\)，
当点\(P\)和点\(A\)重合，或和点\(B\)重合时，也满足上述条件；
故有\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)，即其为圆的直径式方程。[其中圆的直径的端点是\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)] ↩︎证明：由于点 \(P(x_0,y_0)\)，可知直线 \(OP\) 的斜率为 \(K_{_{OP}}=\cfrac{y_0}{x_0}\)，
则圆的经过点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线的斜率为 \(-\cfrac{x_0}{y_0}\)，
由直线的点斜式方程可得，切线方程为 \(y-y_0=-\cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)\)，
整理为 \(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\)，由于 \(x_0^2+y_0^2=r^2\)，故有 \(x_0x+y_0y=r^2\)，
也即是说，过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\(P(x_0,y_0)\)的切线的方程为\(x_0x+y_0y=r^2\)； ↩︎
