等比数列的概念和性质

相关概念

• 刻画等比数列的三种语言数学学习中少不了三种语言的相互转化，比如自然语言，就是我们经常口头表述的那种；符号语言，比如\(f(x)\subseteq g(x)\)和\(x\in A\)等等；图形语言，比如图形；关于三种常用且常见的数学语言形式的相互转换，往往会成为学生学习中的桎梏。建议大家不妨看看三种语言的相互转化

[自然语言]：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列称为等比数列此处一定要仔细体会类比的学习方法，比如\(a_{n+1}-a_n=d\)为等差数列，则将差类比为商，则可知\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)就称作等比数列；等差数列的相关结论可以类比到等比数列中来；等差数列的相关证明思路和方法也可以类比到等比数列里来，同样，我们还可以定义等和数列，等积数列等；，这个常数称为公比，常用\(q\)来表示。类比

[符号语言]：

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)，其中\(n\geqslant 1\)，\(n\in N^*\)，\(q\)为常数。

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)，\(n\geqslant 2\)，\(n\in N^*\)，\(q\)为常数。

[图形语言]：

• 等比中项：如果三个实数\(a，G，b\)成等比数列，则\(G\)称为\(a，b\)的等比中项，满足\(G^2=ab\)。^[1]

• 等比数列的通项公式：\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，推广形式为\(a_n=a_m\cdot q^{n-m}\)，其中对\(n-1\)的理解和等差数列中的\(n-1\)的理解是一样的；
• 等比数列的前\(n\)项和公式：\(\quad S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1，q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q\neq 1}\end{array}\right.\quad\) ^[2]

已知\(S_{n}=a+a^{2}+a^{3}+\cdots+a^{n}(a\neq 0)\)，求\(S_{n}\)的表达式。

分析：由于\(a\neq 0\)，故此数列为等比数列，由等比数列的前\(n\)项和公式，

应该分\(a=1\)和\(a\neq 1\)两种情形讨论如下：

当\(a=1\)时，\(\{a^{n}\}\)是等差数列，也是等比数列，\(S_{n}=\underbrace{1+1^2+1^3+\cdots+1^n}_{n个}=n\)；

当\(a\neq 1\)时，\(\{a^{n}\}\)是等比数列，所以\(S_{n}=\cfrac{a(1-a^{n})}{1-a}\)；

综上: \(S_{n}=\left\{\begin{array}{l}n, \quad\quad\quad a=1\\\cfrac{a(1-a^{n})}{1-a}, a\neq 1\end{array}\right.\)

相关性质

• ①在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k\in N^*)\)，则\(a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q=a_k^2\)。
• ②若数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)(项数相同)是等比数列，则\(\{\lambda a_n\}(\lambda\neq 0)\)，\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)，\(\{a_n^2\}\)，\(\{a_n\cdot b_n\}\)，\(\{\cfrac{a_n}{b_n}\}\)仍然是等比数列；^[3]

• ③在等比数列\(\{a_n\}\)中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即\(a_m，a_{m+k}，a_{m+2k}，a_{m+3k}，\cdots\)为等比数列，公比为\(q^k\)；^[4]

• ④当公比〔情形一：\(q\neq-1\)〕或〔情形二：\(q=-1\)且\(n\)为奇数〕时，则\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)，\(\cdots\) 仍成等比数列，其公比为\(q^n\)；

当公比\(q=-1\)时，\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)，\(\cdots\)不一定成等比数列，

若\(n\)为偶数，则其不能构成等比数列，

若\(n\)为奇数，则可以构成等比数列。

用数列\(2，-2，2，-2，2，-2，\cdots，2，-2\)验证如下，

当\(n=2\)时，则\(S_2=0\)，\(S_4=0\)，\(S_6=0\)，则\(S_2\)，\(S_4-S_2\)，\(S_6-S_4\)，\(\cdots\)，就不能构成等比数列；

当\(n=3\)时，则\(S_3=2\)，\(S_6=0\)，\(S_9=2\)，则\(S_3\)，\(S_6-S_3\)，\(S_9-S_6\)，\(\cdots\)，却能构成等比数列；

• ⑤研究\(q\neq 1\)的等比数列的前\(2n\)项，

\(S_{偶}=a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{2n}\)，\(S_{奇}=a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1}\)，则\(\cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q\)；

说明：\(S_{偶}=a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{2n}=\cfrac{a_2\cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2}\)，\(S_{奇}=a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1}=\cfrac{a_1\cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2}\)，则\(\cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q\)；

或者\(S_{偶}=a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{2n}=q(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1})=q\cdot S_{奇}\)，则\(\cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q\)；

• ⑥等比数列的单调性判断，

依然遵从函数的单调性〔如利用指数型函数\(f(x)=3\cdot2^x\)的单调性〕判断，取决于两个参数\(a_1\)和\(q\)的取值，由于

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1} \]

故当\(\left\{\begin{array}{l}{a_1>0}\\{q>1}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a_1<0}\\{0<q<1}\end{array}\right.\)时，\(a_n\)单调递增；

当\(\left\{\begin{array}{l}{a_1>0}\\{0<q<1}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a_1<0}\\{q>1}\end{array}\right.\)时，\(a_n\)单调递减；

补充：由于数列\(\{a_n\}\)为等比数列，故公比\(q\neq 0\)；

当\(q=1\)时，数列\(\{a_n\}\)为常数列，没有单调性；

当\(q<0\)时，数列\(\{a_n\}\)为摆动数列，没有单调性；

⑦注意 \(a_n\) 类与 \(S_n\) 类的相互转化，以便于使用等比数列的对应性质；

比如，\(S_3=a_1+a_2+a_3\)，\(S_6-S_3=a_4+a_5+a_6\)，\(S_9-S_6=a_7+a_8+a_9\)，

判定证明

证明方法：

• 定义法：\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\ge 2)\)，或者\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(n\ge 1)\)；
• 等比中项法：\(a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}(n\ge 1)\)，或者\(a_n^2=a_{n+1}\cdot a_{n-1}(n\ge 2)\)；

判定方法：除了上述的两种方法以外，还有

• 通项公式法：\(a_n=c\cdot q^n(n\in N^*)\)，\(c\)，\(q\)均为不为零的常数，

说明：\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=\cfrac{a_1}{q}\cdot q^n=c\cdot q^n\)[指数型函数]，

• 前\(n\)项和法：\(S_n=k\cdot q^n-k\)，\(k\neq 0\)，\(q\neq 0\)且\(q\neq 1\)，

说明：\(S_n=\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1}{1-q}-\cfrac{a_1}{1-q}\cdot q^n\)，令\(-\cfrac{a_1}{1-q}=k\)，则\(S_n=k\cdot q^n-k\)。

如果判定某数列不是等比数列，只需要判定其有连续三项不成等比数列即可，这样就可以联系到赋值法，比如常常判断\(a_2^2\neq a_1\cdot a_3\)。

变形技巧

①常用的数学公式：

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$；

$a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2$；

$a_4^2+2a_3a_7+a_6^2=(a_4+a_6)^2$；

$a_4^2+2a_5^2+a_6^2=(a_4+a_6)^2$；

$1-q^2=(1-q)(1+q)$；

$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$；

$1-q^6=1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)$；

$q^6-1=(q^3)^2-1=(q^3+1)(q^3-1)$；

$\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=1+q^5$；

$\frac{S_6}{S_3}=\frac{\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3$

②整体思想的运用，解方程组时整体相除，

如\(\left\{\begin{array}{l}{a_1q^3-a_1q=6①}\\{a_1q^4-a_1=15②}\end{array}\right.\)

两式相除得到，\(\cfrac{a_1(q^3-q)}{a_1(q^4-1)}=\cfrac{a_1q(q^2-1)}{a_1(q^2+1)(q^2-1)}=\cfrac{q}{1+q^2}=\cfrac{2}{5}\)，从而解得\(q=2\)或\(q=\cfrac{1}{2}\)。

• 求比值时整体思想的运用；

再比如给定等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q=2\)，求\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}\)的值。

由题目可知，\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=\cfrac{(a_5+a_6+a_7)\cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8\)

③当涉及\(S_n\)的下标比较小的运算题目时，常常利用定义式。

比如已知等比数列的\(S_3=8\)，则可知\(S_3=a_1+a_2+a_3=8\)，这样可以有效的避免分类讨论，而不是利用\(\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8\)来计算，如果非要利用这个公式，你就必须先分类讨论排除\(q\neq 1\)，否则使用就是错的。

④比例因子的运用。设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\)，则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=？

分析：引入比例因子，设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)，

则\(S_6=k\)，\(S_3=2k\)，\(S_6-S_3=-k\)，由\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\)成等比数列，

可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\)，则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\)，故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\frac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)。

⑤在数列题目中，若出现各项为正数或\(a_n>0\)，则有\(a_n+a_{n+1}>0\)，或者\(a_n+a_{n-1}>0\)，这样就为约分埋下了伏笔。

比如某个题目变形得到\((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}\)，约掉\(a_n+a_{n-1}\)，得到\(a_n-a_{n-1}=1\)，即\(\{a_n\}\)是等差数列。

⑥若出现证明数列\(\{a_n+1\}\)为等比数列，则你必须意识题目已经给了变形的提示，因为变形到最后必然会出现\(a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数)\)，

或者出现同类型的\(a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)\)，这样你往上回溯，自然就会看到题目应该怎么变形了。

⑦ 等比数列求和中的项数的计算

如数列求和：\(S=2^1+2^3+2^5+\cdots+2^{2n+3}\)；

其项数的计算，可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

故项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n+3)-1}{3-1}+1=n+2\)；

则\(S=\cfrac{2\cdot (4^{n+2}-1)}{4-1}=\cfrac{2}{3}(4^{n+2}-1)\)。

⑧设元技巧

当题目已知三个数成等比数列时，我们常常依次设三个数为\(\cfrac{a}{q}\)，\(a\)，\(aq\)，这样设元的优越性在于其积为\(a^3\)，如果题目恰好已知了其积的值，则中间的数立马可知，这样变量就剩下一个\(q\)了；

当已知五个数成等差数列时，常设为\(\cfrac{a}{q^2}\)，\(\cfrac{a}{q}\)，\(a\)，\(aq\)，\(aq^2\)；

⑨已知\(a_n=2n-1\)，则\(a_{2^{n-1}}=2\cdot 2^{n-1}-1=2^n-1\)；

\(a_{log_2n-1}=2(log_2n-1)-1=2log_2n-3\)；\(a_{log_2(n-1)}=2log_2(n-1)-1\)；

给出方式

• 直接给出：\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=3\)
• 赋值给出：\(a_{n+m}=a_n\cdot a_m\)，\(a_1=2\)，求通项公式\(a_n\)；^[5]

• 变形给出：\(S_{n+1}-S_n=3(S_n-S_{n-1})\)
• 变形给出：\(2^{a_{n+1}}=2^{3a_{n}}\)(\(a_n>0\))，则得到\(a_{n+1}=3a_n\)；
• 变形给出：\(log_3a_n+1=log_3a_{n+1}\)，则得到\(a_{n+1}=3a_n\)；
• 变形给出：\(\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n}=4(a_{n+1}-a_{n})\)，得到\((a_{n+1}-2a_n)^2=0\)；
• 变形给出：\(a_n>0\)，点\((a_{n+1}^2，a_n^2)\)在直线\(x-9y=0\)上，则\(a_{n+1}^2=9a_n^2\)，即\(a_{n+1}=3a_n\)；
• 构造给出：如\(a_{n+1}=2a_n+1\)，构造得到\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，即数列\(\{a_n+1\}\)为等比数列；

其他变形请参阅常见构造方法

典例剖析

【2018·广州综合测试】已知数列\(\{a_n\}\)为等比数列，若\(a_4＋a_6＝10\)，则\(a_7(a_1＋2a_3)＋a_3a_9\)的值为 【】

$A.10$ $B.20$ $C.100$ $D.200$

【法1】分析：\(a_7(a_1＋2a_3)＋a_3a_9=a_7a_1+2a_3a_7+a_3a_9\)

\(=a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2=10^2=100\)。故选\(C\)。

【法2】：特殊化策略，由于题目数列\(\{a_n\}\)为等比数列，\(a_4＋a_6＝10\)，则可以将其特殊化为\(a_4=a_6=5\)的特殊的等比数列，即常数列，

此时\(a_n=5\)，代入运算得到\(a_7(a_1＋2a_3)＋a_3a_9=100\)，故选\(C\)。

【2018\(\cdot\)宁夏石嘴山高三联考】在各项均为正数的等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2\cdot a_{10}=9\)，则\(a_5+a_7\) 【 】

$A.有最小值6$ $B.有最大值6$ $C.有最大值6$ $D.有最小值3$

分析：由\(a_n>0\)，\(a_2\cdot a_{10}=9\)，则可知\(a_5\cdot a_7=9\)，

则由均值不等式可知，\(a_5+a_7\ge 2\sqrt{a_5a_7}=6\)，

当且仅当\(a_5=a_7=3\)时取得等号，

故\(a_5+a_7\)有最小值\(6\)，故选\(A\)。

【等比+韦达定理】已知方程\((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0\)的四个根组成以\(\cfrac{1}{2}\)为首项的等比数列，则\(\cfrac{m}{n}\)等于【】

$A.\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{3}{2}或\cfrac{2}{3}$ $C.\cfrac{2}{3}$ $D.以上都不对$

分析：设\(a，b，c，d\)是方程\((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0\)的四个根，

不妨设\(a<c<d<b\)，则由韦达定理有\(ab=cd=2\)，且\(a=\cfrac{1}{2}\)，则\(b=4\)，

根据等比数列的性质可知，\(c=1\)，\(d=2\)，

则\(m=a+b=\cfrac{1}{2}+4=\cfrac{9}{2}\)，\(n=c+d=3\)，

或者\(n=a+b=\cfrac{1}{2}+4=\cfrac{9}{2}\)，\(m=c+d=3\)，

故\(\cfrac{m}{n}=\cfrac{3}{2}\)或\(\cfrac{m}{n}=\cfrac{2}{3}\)，故选\(B\)。

【2018奉贤区一模】已知数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3S_n(n\in N^*)\)，则下列结论正确的是【】

$A.$数列$\{a_n\}$是等比数列

$B.$数列$a_2,a_3,\cdots,a_n$是等比数列

$C.$数列$\{a_n\}$是等差数列

$D.$数列$a_2,a_3,\cdots,a_n$是等差数列

分析：由\(a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)\)，可得\(a_n=3S_{n-1}(n\ge 2)\)，两式做差，得到

\(a_{n+1}-a_n=3a_n(n\ge 2)\)，整理得到，

当\(n\ge 2\)时，满足\(a_{n+1}=4a_n\)，

由于\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)\)，故得到\(a_2=3\)，

故数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3\cdot 4^{n-2}，n\ge 2}\end{array}\right.\)

即数列\(\{a_n\}\)不是等比数列，但是数列\(a_2\)，\(a_3\)，\(\cdots\)，\(a_n\)是等比数列；故选\(B\)。

【等比中项，易错题】已知等比数列\(\{a_n\}\)中， \(a_3=4\)， \(a_9=1\)， 求\(a_6=\)？

分析：\(a_6^2=a_3\cdot a_9=4\)，故\(a_6=\pm 2\)。原因是\(a_6=a_3\cdot q^3\)，\(q^3\)可取正负两种情形，故\(a_6=\pm 2\)。

• 对照：已知等比数列\(\{a_n\}\)中， \(a_3=4\)， \(a_{11}=1\)， 则\(a_7=\)？

分析：\(a_7^2=a_3\cdot a_{11}=4\)，故\(a_7=\pm 2\)。又由于\(a_7=a_3\cdot q^4\)，\(q^4\)只能取正值一种情形，故\(a_7=2\)。

【2018漳州八校联考】等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=2\)，\(S_6=18\)，则\(\cfrac{S_{10}}{S_5}\)等于【】

$A.-3$ $B.5$ $C.-31$ $D.33$

分析：由题目可知\(q\neq 1\)，则\(\cfrac{S_6}{S_3}=\frac{\cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3=9\)，

则\(q=2\)，同理，\(\cfrac{S_{10}}{S_5}=\frac{\cfrac{a_1(1-q^{10})}{1-q}}{\cfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=1+q^5=33\)，故选\(D\)。

【2018辽宁沈阳二模】已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，且\(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64\)，则\(tan(\cfrac{a_4a_6}{3}\cdot \pi)\)=【】

$A.\sqrt{3}$ $B.-\sqrt{3}$ $C.-\cfrac{\sqrt{3}}{3}$ $D.\pm \sqrt{3}$

分析：由\(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64\)，可知\(a_3^3=-64\)，故\(a_3=-4\)，又\(a_7=a_3\cdot q^4<0\)，故由\(a_7^2=64\)，可得\(a_7=-8\)，这样\(a_4a_6=a_3a_7=32\)，

故\(tan(\cfrac{a_4a_6}{3}\cdot \pi)=tan(\cfrac{32}{3}\cdot \pi)=tan(\cfrac{2\pi}{3})=-\sqrt{3}\)，故选\(B\).

【2017全国卷2，文科第17题高考真题】已知等差数列 \(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，等比数列 \(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，\(a_1=-1，b_1=1，a_2+b_2=2\)，

(1)若\(a_3+b_3=5\)，求\(\{b_n\}\)的通项公式。

分析：设等差数列的公差为\(d\)，等比数列的公比为\(q\)，

则由题目可知\(\begin{cases}-1+d+1\cdot q=2\\-1+2d+1\cdot q^2=5\end{cases}\)，

即\(\begin{cases}d+ q=3\\2d+ q^2=6\end{cases}\)，

解得\(q^2-2q=0\)，故\(q=2或q=0(舍去)\)，

故等比数列\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n=2^{n-1}\)。

(2)若\(T_3=21\)，求\(S_3\)。

分析：由于\(b_1=1，T_3=21\)，故\(1+q+q^2=21\)，解得\(q=-5\)或\(q=4\)；

当\(q=-5\)时，由\(a_2+b_2=2\)得到\(d=8\)，此时\(S_3=-1+7+15=21\)；

当\(q=4\)时，由\(a_2+b_2=2\)得到\(d=-1\)，此时\(S_3=-1-2-3=-6\)；

【2017全国卷2，理科第15题高考真题】已知等差数列 \(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=3\)，\(S_4=10\)，则\(\sum\limits_{k=1}^n{ \cfrac{1}{S_k}}\)

分析：由\(a_1+2d=3\)和\(4a_1+6d=10\)，

容易计算出\(a_n=n\)，故\(S_n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)，

则有\(\cfrac{1}{S_n}=\cfrac{2}{n(n+1)}=2(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})\)，

故\(\sum\limits_{k=1}^n {\cfrac{1}{S_k}}=2[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots +(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})]\)

\(=2(1-\cfrac{1}{n+1})=\cfrac{2n}{n+1}\)。

已知数列\(\{a_n\}\)是递增等比数列，\(a_1+a_4=9\)，\(a_2\cdot a_3=8\)，求其前\(n\)项和\(S_n\)。

分析：由题目可知\(a_2\cdot a_3=a_1\cdot a_4=8\)，

故得到二元二次方程组\(\begin{cases}a_1+a_4=9\\a_1\cdot a_4=8\end{cases}\)，

将\(a_1=9-a_4\)代入\(a_1\cdot a_4=8\)，解得\(a_1=1\)或\(a_1=8\)，

对应得到\(a_4=8\)或\(a_4=1\)，即得到两组解，

\(\begin{cases}a_1=1\\a_4=8\end{cases}\)或者\(\begin{cases}a_1=8\\a_4=1\end{cases}(由递增舍去)\)，

故有\(a_1=1，a_4=8\)，则\(q=2\)，

故\(a_n=2^{n-1}\)，\(S_n=2^n-1\)。

在等比数列\(\{a_n\}\)中， \(a_4=2\)， \(a_5=5\)， 则数列\(\{lga_n\}\)的前8项之和\(T_8\)为多少？

法1：由\(a_4=2\)， \(a_5=5\)，求得\(q=\cfrac{5}{2}\)，

则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2\cdot (\cfrac{5}{2})^{n-4}\)，

故\(lga_n=lg2+(n-4)lg\cfrac{5}{2}\)，故\(\{lga_n\}\)为等差数列。

又可以计算\(a_1=\cfrac{16}{125}\)，

故\(T_8=8lg\cfrac{16}{125}+\cfrac{8\times7}{2}\cdot lg\cfrac{5}{2}=\cdots=4\)。

法2：由于\(\{a_n\}\)为等比数列，则有\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)；

故有\(lga_{n+1}-lga_n=lgq\)，即数列\(\{lga_n\}\)为等差数列。

\(T_8=\cfrac{lga_1+lga_8}{2}\cdot 8=4lg(a_1\cdot a_8)=4lg(a_4\cdot a_5)=4lg10=4\)。

【2017全国卷1，文科第17题高考真题】记\(S_n\)为等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，已知\(S_2=2，S_3=-6\)。

（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？

解方程组得到\(a_1=-2，q=-2\)，

故\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=-2\cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n\)。

（2）求\(S_n\)，并判断\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)是否成等差数列。

分析：先求解

\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

\(=\cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}\)

\(=\cfrac{-2+2\cdot (-1)^n\cdot 2^n}{3}\)

\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}\)。

接下来你得意识到，

\(S_n\)是个关于自变量\(n\)的函数，

故由此我们应该能写出\(S_{n+1}\)，\(S_{n+2}\)

至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，

即验证\(S_{n+2}+S_{n+1}\)是否等于\(2S_n\)。

判断如下：\(S_{n+2}+S_{n+1}\)

\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}\cfrac{2^{n+3}}{3}-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^2\cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^1\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n(\cfrac{2^{n+2}\cdot 2}{3}-\cfrac{2^{n+2}}{3})\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=2[-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n\)，

故\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)成等差数列。

【2016宝鸡市二检理科第9题】设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_5\)，\(S_4\)，\(S_6\)成等差数列，则数列\(\{a_n\}\)的公比\(q\)的值为【】

$A.-2或1$ $B.-1或2$ $C.-2$ $D.1$

法1：分类讨论法+公式法；若\(q=1\)，则\(S_4=4a_1(a_1\neq 0)\)，\(S_5=5a_1\)，\(S_6=6a_1\)，则\(2S_4\neq S_5+S_6\)，故\(q\neq 1\)；

由\(S_5\)，\(S_4\)，\(S_6\)成等差数列，得到\(2S_4=S_5+S_6\)，

即\(2\times \cfrac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\cfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}+\cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}\) 〔运算训练〕

化简得到，\(q^2+q-2=0\)，解得\(q=-2\)(舍去\(q=1\))；故选\(C\)；

法2：定义法，由\(S_5\)，\(S_4\)，\(S_6\)成等差数列，

则得到\(2S_4=S_5+S_6\)，即\(2(a_1+a_2+a_3+a_4)=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)\)

化简得到，\(2a_5+a_6=0\)，即\(q=\cfrac{a_6}{a_5}=-2\)，故选\(C\)；

【2018宝鸡市二检理科第4题】已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，则\(S_n=2^n-c(c\in R)\)，若\(log_2a_1+log_2a_2+\cdots+log_2a_n=10\)，则\(n\)值为多少？

分析：本题目的考点有以下几个，其一求等比数列的\(a_n\)，其二由\(S_n\)求\(a_n\)。

我们往往需要先由\(S_n\)求\(a_n\)，

途径一：\(a_n\)与\(S_n\)法，

当\(n\ge 1\)时，\(S_n=2^n-c(c\in R)\)，

当\(n\ge 2\)时，\(S_{n-1}=2^{n-1}-c(c\in R)\)，

故\(n\ge 2\)时，\(a_n=S_n-s_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}\)

所以，\(a_n=2^{n-1}(n\in N^*)\)(此处可以验证，也可以不验证，已知的等比)

途径二：由等比数列的前\(n\)项和\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1}{1-q}\cdot (1-q^n)=m\cdot q^n-m(m=-\cfrac{a_1}{1-q})\)的性质可知，

\(c=1\)，\(q=2\)，再由\(S_1=a_1=2^1-1=1\)，

故\(a_n=1\times 2^{n-1}(n\in N^*)\)；

接下来用对数的性质求解转化：

\(a_1\cdot a_2\cdot a_n=2^0\cdot 2^1\cdots 2^{n-1}=2^{0+1+\cdots+(n-1)}=2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)，

则\(log_2a_1+log_2a_2+\cdots+log_2a_n=log_2(a_1\cdot a_2\cdots a_n)=log_22^0\cdot 2^1\cdots 2^{n-1}\)，

\(=log_22^{0+1+\cdots+(n-1)}=log_22^{\frac{n(n-1)}{2}}=\cfrac{n(n-1)}{2}=10\)，解得\(n=5\)。

解后反思：

1、熟练理解等差、等比数列的常用性质，尤其是从函数角度出发的性质，对数学解题有很大的帮助。

2、本题目原来是选择题，给了\(2，3，4，5\)四个选项，当进行到解方程\(\cfrac{n(n-1)}{2}=10\)时，应该意识到验证总比解方程要节省时间。

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1. 对等比中项的理解和把握，要比等差中项难得多。任意两个实数都有等差中项，但任意两个实数不一定都有等比中项。
   注意：①必须\(ab>0\)才能保证\(G\)的存在性。比如\(-2\)和\(3\)就没有等比中项；
   ②若\(1\)，\(G\)，\(4\)三个数成等比数列，则\(G=\pm 2\)[两个值]；但是若\(-1\)，\(2\)，\(G\)，\(8\)，\(-16\)成等比数列，则\(G=-4\)[一个值，原因是限制条件比前面得情形要多]； ↩︎

2. 其中\(n\)为参与求和的项数，而不是最后一项的指数。上述公式体现的是分段函数，当知道\(q\)的值的时候，自然是确定的某一段函数，题目考查第二段的时候居多，当不知道\(q\)的值时，应该分类讨论，尤其容易漏掉对第一段的说明；实际应用中，当\(q>1\)时，为减少运算步骤，常用\(S_n=\cfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\)； ↩︎

3. 以数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)为例，说明如何判断其为等比数列？
   设数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)分别是公比为\(q_1\)和\(q_2\)的等比数列，
   由于\(\cfrac{a_{n+1}\cdot b_{n+1}}{a_n\cdot b_n}=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=q_1\cdot q_2\)
   由于\(q_1\cdot q_2\)为常数，故数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)为等比数列，公比为\(q_1\cdot q_2\)；
   其他数列的判断证明与此同理； ↩︎

4. 由于\(a_m=a_1\cdot q^{m-1}\)，\(a_{m+k}=a_1\cdot q^{m+k-1}\)，
   则新数列的公比为\(\cfrac{a_{m+k}}{a_m}=\cfrac{a_1\cdot q^{m+k-1}}{a_1\cdot q^{m-1}}=q^k\); ↩︎

5. 令\(m=1\)得到\(a_{n+1}=a_n\cdot a_1\)，
   即\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=a_1=2\)，不就是等比数列嘛；
   故\(a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n\)； ↩︎