算法导论 Chapter 9.3 Selection in worst-case linear time

问题描述：

本节要求以最坏情况下O(n)的时间复杂度找到长度为n的数组中第 i 大的数。

 

解决方案：

《算法导论》上提供了一个算法，该算法实质上是利用了快排中划分的思想，但其通过一些比较复杂的预处理工作保证了快排划分的均匀，

并且能够从理论上证明其最坏情况下的时间复杂度可以达到O(n)。

算法步骤：

1、如图所示，将n个数分成5个一组，共有⌊n/5⌋组。

2、对⌈n/5⌉组（包括可能不到5个数的那组）的组内数据进行直接插入排序，排序完成之后，图中白色的数据即为组内数据的中位数。

    并将这⌈n/5⌉个中位数挑出来，具体做法见后面的代码。

3、递归调用本算法找到这⌈n/5⌉个中位数的中位数，假设它为图中的x。

4、假定n个数是互不相同的（后面会讨论一般情况），以x为枢轴对n个数进行一趟划分，

    使得x左边的数＜x，x右边的数＞x。假设划分完成之后，x在数组中从左到右排在第k个。

5、如果 i == k，那么x就是我们要找的数，return x; 即可；

    如果 i < k，那么递归调用本算法在x左边的数中继续找第 i 个数；

    如果 i > k，那么递归调用本算法在x右边的数中继续找第 i - k 个数；

 

为什么这个算法是O(n)的？《算法导论》上给予了证明。

证明步骤：

①第1、2、4步都是O(n)的。

其中第2步O(n)是因为，对n/5组进行组内直接插入排序的时间复杂度是(n/5) * (5^2) = 5n，也就是O(n)。

②根据第1、2、3步我们可以知道，由于n个数是互不相同的，且x是中值的中值，

则图中阴影部分的数据肯定都比x大，具体来说，比x大的数据至少有：

其中，⌈n/5⌉是组的个数（包括可能不到5个数的那组），-2是去掉x所在的组以及有可能不到5个数的那组。

同理，在x左上角的那部分数据也肯定比x小，并且也至少有这么多。

所以无论在第5步中是哪种情况，到下一次递归时最多有7n/10+6个数。

③假设本算法的最坏时间复杂度是T(n)的，那么第3步的时间复杂度是T(⌈n/5⌉)，第5步的时间复杂度是T(7n/10+6)。

假设对于n<140的情况，找第 i 个数是O(1)的。（后面会解释为什么有这样的假设，以及为什么是140而不是410）

④现在我们只要证明，对于任意的n>0，都成找到一个常数 c 使得T(n) ≤ cn，那么，这个算法就是O(n)的。

假设式中O(n)项的常数因子为a，则有：

T(n) ≤ c ⌈n/5⌉ + c(7n/10 + 6) + an
       ≤ cn/5 + c + 7cn/10 + 6c + an
       = 9cn/10 + 7c + an
       = cn + (-cn/10 + 7c + an)

如果(-cn/10 + 7c + an) ≤ 0，那么T(n) ≤ cn。

(-cn/10 + 7c + an) ≤ 0 ⇒ c ≥ 10a(n/(n - 70))

当n≥140时，n/(n - 70) ≤ 2，只要取c = 20a即可使T(n) ≤ cn，亦即本算法是O(n)的。

 

下面讨论如果n个数中有重复数的情况

由于在算法步骤中的第四步以及证明步骤中的第二步都假定个n个数互不相同，这样才能保证能有3n/10-6个数一定比x小，

同时有3n/10-6个数一定比x大，这样无论i和k（x在数组中从左到右排在第k个）之间的大小关系是什么，总能下进入下一次

递归时排除掉3n/10-6个数。

而事实上，如果n个数中有重复元素与x相同，比如100个数（中间省略的都是2）：

2 2 1 2 2 0 2  …… 2 2 1 2 3

这样≤2的数在前99个，大于2的数（只有3）在第100个，如果我们要找第5个数，那么按照前面的算法进入下次递归的是前99个数，

这显然不能满足“至少除掉3n/10-6个数”的假设。为了实现在这种情况下仍然是O(n)，需要DIY一下划分算法，具体来说：

将n个数划分成三部分，第一部分＜x，第二部分＝x，第三部分＞x。按上面的例子划分结果是（中间省略的都是2）：

1 0 1 2 2 2 2  …… 2 2 2 2 3

我们知道从左至右第一个出现的x在第4个，最后出现的x在第99个，那么：

如果 i >= 4 && i <= 99，那么x就是我们要找的数，return x; 即可；

如果 i < 4，那么递归调用本算法在x左边的数中继续找第 i 个数；

如果 i > 99，那么递归调用本算法在x右边的数中继续找第 i - 99 个数；

这样，就能够保证进入每次“至少除掉3n/10-6个数”了。

 

实现代码：

 int partitionSpecifyPivot(int a[], int beg, int end, int pivotloc, int *pivotNum)
 {
     int pivot = a[pivotloc];
     int i = beg - 1;
     int j = beg - 1;
 
     for (int k = beg; k <= end; ++k)
     {
         if (a[k] <= pivot)
         {
             swap(a, ++j, k);
         }
     }
     for (int k = beg; k <= j; ++k)
     {
         if (a[k] < pivot)
         {
             swap(a, ++i, k);
         }
     }
     //pivotNum is the number of the elements that equal to the pivot
     if (pivotNum != NULL)
     {
         *pivotNum = j - i;
     }    
     return j;
 }

int ithSmallestLinear(int a[], int beg, int end, int i)
{
    int len = end - beg + 1;

    if (len < 140)
    {
        insertionSort(a, beg, end);
        return beg + i - 1;
    }
    //divide the n elements into ⌊n/5⌋ groups and sort each group
    for (int j = 0; j != len / 5; ++j)
    {
        int b = beg + j * 5;
        int e = b + 4;
        insertionSort(a, b, e);
        //move the median of each group to the front of the array
        swap(a, beg + j, b + 2);
    }
    //find the median of each median
    int pivotLoc = ithSmallestLinear(a, beg, len / 5 - 1, (len / 5 + 1) / 2);
    //the number of the elements that equal to the pivot
    int pivotNum = 0;
    int pivotEndIndex = partitionSpecifyPivot(a, beg, end, pivotLoc, &pivotNum);    
    int n = pivotEndIndex - beg + 1;
    int m = n - pivotNum + 1;

    if (i >= m && i <= n)
    {
        //return the index of the ith smallest element
        return pivotEndIndex;
    }
    else if (i < m)
    {
        return ithSmallestLinear(a, beg, pivotEndIndex - pivotNum, i);
    }
    else
    {
        return ithSmallestLinear(a, pivotEndIndex + 1, end, i - n);
    }
}

 

测试：

首先测试算法的正确性，代码如下：

#define ARRAY_SIZE 500
#define COUNT 10

int a[ARRAY_SIZE];
int b[ARRAY_SIZE];

int main(void)
{
    for (int z = 0; z != COUNT; ++z)
    {
        result.open("result.txt");
        randArray(a, ARRAY_SIZE, 1, 9999);
        copyArray(a, 0, b, 0, ARRAY_SIZE);
        quickSort(a, 0, ARRAY_SIZE - 1);

        for (int i = 1; i <= ARRAY_SIZE; ++i)
        {
            int resultStd = a[i - 1];
            int resultTest = b[ithSmallestLinear(b, 0, ARRAY_SIZE - 1, i)];

//             std::cout << "i = " << i << " resultTest = " << resultTest 
//                       << " resultStd = " << resultStd << std::endl;
            if (resultTest != resultStd)
            {
                std::cout << "Error" << std::endl;
                return - 1;
            }
        }
        std::cout << "test " << z << " done." << std::endl;
    }

    return 0;
}

关于该算法最坏情况下能保证O(n)的时间复杂度，只需测试其在数组元素随机、有序、相同这三种情况下的时间，代码如下：

 （1000000数量级的测试，根据机器实际情况可以把这个调小点）

 #define ARRAY_SIZE 1000000
 #define COUNT 10
 
 int a[ARRAY_SIZE];
 int b[ARRAY_SIZE];
 int c[ARRAY_SIZE];
 
 int main(void)
 {
     for (int z = 0; z != COUNT; ++z)
     {
         randArray(a, ARRAY_SIZE, 1, ARRAY_SIZE * 2);        
         randArray(c, ARRAY_SIZE, 1, 1);
         copyArray(a, 0, b, 0, ARRAY_SIZE);
         quickSort(b, 0, ARRAY_SIZE - 1);
 
         for (int i = 1; i <= ARRAY_SIZE; ++i)
         {
             clock_t start = clock();
             ithSmallestLinear(a, 0, ARRAY_SIZE - 1, i);
             std::cout << clock() - start << "ms ";
             start = clock();
             ithSmallestLinear(a, 0, ARRAY_SIZE - 1, i);
             std::cout << clock() - start << "ms ";
             start = clock();
             ithSmallestLinear(a, 0, ARRAY_SIZE - 1, i);
             std::cout << clock() - start << "ms" << std::endl;
         }
         std::cout << "test " << z << " done" << std::endl;
     }
     return 0;
 }

 

测试结果：

 可以看到在三种情况下的时间是一个数量级的。

 

文中一些自定义函数的实现见文章“#include”