BZOJ1050 [HAOI2006]旅行comf[并查集判图连通性]

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Description

给你一个无向图，N(N<=500)个顶点, M(M<=5000)条边，每条边有一个权值Vi(Vi<30000)。给你两个顶点S和T，求

一条路径，使得路径上最大边和最小边的比值最小。如果S和T之间没有路径，输出”IMPOSSIBLE”，否则输出这个

比值，如果需要，表示成一个既约分数。 备注： 两个顶点之间可能有多条路径。

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体现了并查集实际作用的一道题，也就是判图连通性。几句总结：

最小化或最大化一个分数时通常可以二分，但是也可以去设法最大or最小化分子分母。二分不好check的话就可以尝试后者。

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据说二分带点优化其实是可以的，然而我不会。根据上面那则提示，因为最大边和最小边无法同时分别最小和最大化，所以可以先固定分母（最小边）。然后要求分子尽可能小。就是说找大于最小边的一些边让s到t连通，最小化那个最大边。那么对于最小的最大边，只要从最小边开始从小到大不停加边，直到s与t连通时立即停止即可，找到的一定是最小的最大边，正确性很容易证（最小的可行解之前的所有边都无法使其连通，而当前为第一个可行解，即最小）。于是枚举最小边并查集维护连通性就行，$O(N^{2}α(N))$稍有点卡，但是能过。可以把除法比较转换成乘法比较加一点速。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
#define ddbg(x,y) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const int N=5000+7;
struct thx{
    int u,v,w;
    inline bool operator <(const thx&orz)const{
        return w<orz.w;
    }
}e[N];
int fa[N],n,m,s,t,p=300000,q=1;
inline int Get(int x){return fa[x]^x?fa[x]=Get(fa[x]):x;}
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout);
    read(n),read(m);
    for(register int i=1;i<=m;++i)read(e[i].u),read(e[i].v),read(e[i].w);
    sort(e+1,e+m+1);read(s),read(t);
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        int j;for(j=1;j<=n;++j)fa[j]=j;
        for(j=i;j<=m;++j){
            fa[Get(e[j].u)]=Get(e[j].v);
            if(Get(s)==Get(t))break;
        }
        if(Get(s)==Get(t))if(p*e[i].w>q*e[j].w)p=e[j].w,q=e[i].w;
    }
    if(p>30000)printf("IMPOSSIBLE\n");
    else p%q==0?printf("%d",p/q):printf("%d/%d\n",p/gcd(p,q),q/gcd(p,q));
    return 0;
}