-老骥伏枥-

摘要： 设$f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^n$是$B(0,1)\setminus\{0\}$中的单叶全纯函数,则$$\sum_{n=1}^{\infty}n|a_{n}|^2\leq1.$$ 阅读全文

摘要： 代数学基本定理：设$P(z)\in \mathbb C^n[z],n\geq1$,那么$P_{n}(z)$在$\mathbb C$上有$n$个根.(不加说明的,以下均考虑次数大于零的多项式)关于代数学基本定理先要做几点说明：1).$P_{n}(z)$在$\mathbb C$上有$n$个根和在$\ma... 阅读全文

摘要： 设多项式$P_{n}(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^n$,其系数满足$$0<a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{n}$$那么这个多项式的$n$个根完全落在单位圆盘$B(0,1)$中.证明 设$P_{n}(z)=0$且$|z|\geq1$,那么\begin{al... 阅读全文

摘要： 利用Schwarz引理可以求出单位圆盘$B(0,1)$的全纯自同构群${\rm Aut}B(0,1)$.任取$a\in B(0,1)$,记$$\varphi_{a}(z)=\frac{a-z}{1-\overline{a}z}$$显然这个分式线性变换$\varphi_{a}\in{\rm Aut}B... 阅读全文

摘要： 可能是因为当年本科学的是微积分，级数部分讲的不多，现在这部分习题做起来真的很困难，有不少题目想了很长时间,现在在这里练一练，做个记录.4.设$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\left|{\rm arg}z_{n}\right|\leq\alpha,\forall n\in\mathb... 阅读全文

摘要： 设$f\in H(B(0,R))\cap C(\overline{B(0,R)})$,且$f=u+iv$,则$f$可用其实部表示为$$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{Re^{i\theta}+z}{Re^{i\theta}-z}u(Re^{i\thet... 阅读全文

摘要： 数学分析中我们知道$\mathbb R^n$中的紧集等价于有界闭集.而在复平面上则稍有区别，我们有：在$\mathbb C$上的紧集等价于有界闭集,而在$\mathbb C_{\infty}$上的紧集等价于闭集.证明 对于有界闭集的紧性的证明可以把数学分析中的证明照搬过来,这里只对$\mathbb... 阅读全文

摘要： 设区域$D$上一条曲线$z=\gamma(t),a\leq t\leq b$,设起点$\gamma(a)=z_{0}$,现有一个定义在$D$上且在$z_{0}$处全纯且$f'(z_{0})\neq0$的函数$f(z)$,我们考虑曲线$\gamma$在他映射下的像$$w=\sigma(t)=f(\ga... 阅读全文