GZEZ "六校NOI集训" Day7

T1

矩阵的秩：高斯约旦消元后非空行数。
记录 \(v[i,j]=0/1\) ，表示第 \(j\) 行是否可以影响第 \(i\) 行的结果。
我们称第 \(i\) 行最左侧的 \(1\) 为其代表元（其实就是线性基相关），记 \(id_j\) 为第\(j\) 列的 \(1\) 所在行数。
然后我们对列依次扫描，如果 \(id_j\) 那一行只有一个 \(1\) ，那么这一列中所有可能修改 \(id_j\) 行的那些行改变，如果不会使空行的变成 \(1\) ，那么就会使秩减少，否则不变。
对于其他情况，秩不可能减少，当能改变空行时，秩会增加，否则不变。

同时发现，所有空行是等价的。
使用 bitset 维护。

#include <bits/stdc++.h>
#define lep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)

const int _ = 2000 + 7;
typedef long long ll;
typedef std::bitset<_> B;

int n, m, a[_][_], rk, nw, id[_]; char c, ans[_][_];
B v[_], b[_], e;

void Init() {
	int r = 1;
	lep(j, 1, m) {
		int i = r;
		while (i <= n and !b[i][j]) ++i;
		if (i == n + 1) continue;
		std::swap(b[i], b[r]), std::swap(v[i], v[r]);
		lep(i, 1, n) if (i != r) {
			if (b[i][j]) b[i] ^= b[r], v[i] ^= v[r];
		}
		id[j] = r++;
	}
	lep(i, 1, n) if (!b[i].count()) e |= v[i];
}

int main() {
	scanf("%d%d", & n, & m);
	lep(i, 1, n) { lep(j, 1, m) { c = getchar();
			while (c != '0' and c != '1') c = getchar();
			b[i][j] = (c == '1');
		} v[i][i] = 1;
	}
	
	Init();
	
	lep(j, 1, m) {
		int r = id[j];
		if (b[r].count() == 1) {
			lep(i, 1, n) if (!e[i] and v[r][i]) ans[i][j] = '-'; else ans[i][j] = '0';
		}
		else {
			lep(i, 1, n) if (e[i])
				ans[i][j] = '+'; else ans[i][j] = '0';
		}
	}
	
	lep(i, 1, n) {
		lep(j, 1, m) putchar(ans[i][j]);
		puts("");
	}
	return 0;
}