组合数学

组合数学

基本概念

1. 加法原理和乘法原理

1. 加法原理：一件事情可以用 \(m\) 类不同的方法完成，其中第 \(i\) 类方法有 \(a_i\) 中不同的方法。则总方法数为 \(\sum\limits_{i=1}^{m}a_i\)
2. 乘法原理：假设两个集合 \(S_A\) 与 \(S_B\)，\(S_A\) 中每一个选择都对应了 \(S_B\) 中的 \(|S_B|\) 个数，则总方案数为 \(|S_A|·|S_B|\)。推广得到：有 \(m\) 个集合 \(S_i\)，每个集合选一个数，则总方案数为 \(\prod\limits_{i=1}^{m}|S_i|\)

2. 排列

​ 排列是有序的，理解为把 \(n\) 个元素的集合 \(S\) 的一个 \(m\) 排列理解为在这 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个进行有序摆放的总方案数

1. 不可重复排列数：从 \(n\) 个不同的物体中不重复地取出 \(m\) 个，记作 \(P_n^m = \cfrac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)

2. 可重复排列数：从 \(n\) 个不同的物体中可重复地取出 \(m\) 个，排列数为 \(n^r\)

3. 循环排列：从 \(n\) 个构成环的不同的物体中可重复地取出 \(m\) 个，排列数为 \(\cfrac{P_n^m}{m}\)

3. 组合

​ 排列是有序的，组合是无序的，理解为把 \(n\) 个元素的集合 \(S\) 的一个 \(m\) 排列理解为在这 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个进行无序摆放（相同元素构 成的不同方案算作一个）的总方案数，记作\(C_n^m\)

​ 当所有元素互不相同时，组合数 \(C_n^m=\cfrac{P_n^m}{r!}=\cfrac{n!}{r!(n-r)!}=\cfrac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{r(r-1)\cdots 2\times1}\)

​ 组合数有三个重要性质：

• \(C_n^m=C_n^{n-m}\)：从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个等价于在 \(n\) 个元素中选择丢弃 \(n-m\) 个

• \(C_n^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)（帕斯卡公式）：可以如下证明：

  1. 选第 \(n\) 个元素 \(\rightarrow\) 在剩下的 \(n-1\) 个元素中还要选 \(m-1\)个（\(C_{n-1}^{m-1}\)）
  2. 不选第 \(n\) 个元素 \(\rightarrow\) 在剩下的 \(n-1\) 个元素中还要选 \(m\) 个（\(C_{n-1}^{m}\)）

  通过加法原理可以得出 \(C_n^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)

• \(\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i=2^n\)：\(C_n ^m\)在二进制中的表示为在所有长度为 \(n\) 的二进制 \(01\) 串，其中有 \(m\) 个 \(1\)的串有几个。而长度取 \([0,n]\) 时总方案为 \([0,2^n]\) 的二进制数的数量

二项式定理与杨辉三角

观察 \((x+y)^n\) 的展开项：

\[\begin{equation} (x+y)^0=1 \\ (x+y)^1=1x+1y \\ (x+y)^2=1x^2+2xy+1y^2 \\ (x+y)^3=1x^3+3x^2y+3xy^2+1y^3 \\ (x+y)^4=1x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+1y^4 \end{equation} \]

其左侧的展开式 \((x+y)^n\) 中系数构成杨辉三角第 \(n+1\) 行

我们需要逐个通过杨辉三角计算 \((x+y)^n\) 的各项系数，这样复杂度会较高。我们用二项式定理快速求解。

我们将 \((x+y)^n\) 展开为 \((x+y)(x+y)\cdots(x+y)\)，我们将这些 \((x+y)\) 看作装着两个元素 \(x\) 和 \(y\) 的集合。而在展开式中第 \(m\) 项目（第 \(1\) 个算作第 \(0\) 项）为 \(k·x^{n-m}y^{m}\)，可以理解为在这 \(n\) 个集合中选 \(n-m\) 个 \(x\)（选 \(m\) 个 \(y\)）相乘，有 \(C_n^{m}\) 种方案，也就是系数为\(C_n^{m}\)

推导得：

\[(a+b)^n=\sum_{m=0}^{n}C_n^ma^mb^{n-m}=\sum_{m=0}^{n}C_n^mb^ma^{n-m} \]

而计算二项式系数有两种方法：

1. 递推法：\(C_n^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)，这个递推式就是杨辉三角的定义，数值等于“两肩”和（时间复杂度为 \(O(n^2)\)）

   for (int i = 1;i <= n;i ++) 
     c[i][1] = c[i][i] = 1;
     for (int j = 2;j < i;j ++)
       c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
   

2. 用公式直接算： \(C_n^m=\cfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

   由于二项式系数增长极快，大部分情况都需要取模，需要用到逆

   \(C_n^m~mod~p=\cfrac{n!}{r!(n-r)!}~mod~p=(n! ~ mod ~ p)(r!)^{-1}((n-r)!)^{-1}~~(mod~p)\)

   时间复杂度为 \(O(n)\)

   void init(int n) {
     fac[0] = 1ll;
     for (int i = 1;i <= n;i ++) {
       fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod; // 预处理 i!
       inv[i] = fastPow(fac[i],mod - 2ll); // 费马小定理求i!的逆
     }
   }
   ll C(int n,int m) {
     return (fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod) % mod;
   }
   

卢卡斯定理

卢卡斯定理用于计算组合数取模，即 \(C_n ^m~mod~p\)，\(m\) 为质数

组合数的计算可以用逆，但这种计算方法也有局限性。通过逆的定义（ \(ax\equiv 1~(mod~p)\) 的一个解）我们可以得出 \(p\) 最好是大于 \(a\) 的质数，才能保证 \(\gcd(a,p)=1\)。在组合数的计算 \(C_n^m=(n! ~ mod ~ p)(r!)^{-1}((n-r)!)^{-1}~~(mod~p)\) 中，如果 \(p<n\)，就无法保证 \((n!)^{-1}\) 和 \(((n-r)!)^{-1}\) 的逆的存在。而卢卡斯定理则可以解决这类问题

卢卡斯定理 对于非负整数 \(n\)，\(m\) 和素数 \(p\)，有：

\[C_n^m\equiv\prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}~(mod~p) \\ C_n^m~mod~p=\prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}~mod~p \]

其中 \(n=n_kp^k+\cdots+n_1p+n_0\) 和 \(m=m_kp^k+\cdots+m_1p+m_0\) 是 \(n\) 与 \(m\) 的 \(p\) 进制展开式

意义是对 \(p\) 进制下的 \(n\) 和 \(m\) 的每一位计算组合数，最后乘起来

但在编程中我们通常使用另外一个表达：

\[C_n^m \equiv C_{n~mod~p}^{m~mod~p}~\cdot~C_{n/p}^{m/p} \]

在计算时我们将两边拆开

• 左侧 \(C_{n~mod~p}^{m~mod~p}\) 用逆直接算（\((n~mod~p)<p\)）
• 右侧 \(C_{n/p}^{m/p}\) 则递归继续计算（\(m=0\) 时结束递归并返回 \(C_n^0=1\)）

ll Lucas(ll n,ll m,ll p) {
  if (p == 0) return 1ll; 
  return C(n % p,m % p,p) * Lucas(n / p,m / p,p) % p;
}