树状数组

树状数组

概念

树状数组是用来解决单点修改，区间查询的问题，它的修改与求和都是\(O(log_2n)\)的，效率非常高。它与前缀和的区别是能够修改数组中的元素。

基本思想

根据任意正整数关于\(2\)的不重复次幂的唯一分解性质，若一个正整数\(x\)的二进制表示为\(10101\)，则\(x\)能够被分解为\(2^4+2^2+2^0\)。将\(x\)转化为有\(x\)个元素的区间\([1,x]\)，则区间\([1,x]\)可以被分解为\(log_2x\)个小区间：

1. 长度为\(2^4\)的区间 \([1,2^4]\)
2. 长度为\(2^2\)的区间 \([2^4+1,2^4+2^2]\)
3. 长度为\(2^0\)的区间 \([2^4+2^2+1,2^4+2^2+2^0]\)

树状数组就是一个基于以上思想的数据结构，其将\([1,x]\)拆分为\(log_2x\)个小区间，从而快速求得前缀和。

算法实现

由上述思想可知：若区间结尾为\(x\)，则区间长度就等于\(x\)的二进制表示中，最右侧的\(1\)与它右边的\(0\)构成的数字（分解后最小的\(2\)次幂），我们设求\(x\)的最小二次幂为\(lowbit(x)\)。

对于给定的序列\(A\)，我们建立一个数组\(sum\)，其中\(sum[x]\)保存序列\(A\)的区间\([x-lowbit(x)+1,x]\)中的所有数的和。

\(lowbit(x)\)的求法：

\(lowbit(x)=x \& (\) ~ \(x+1)\)

先把\(x\)取反，此时\(k\)位为\(0\)（\(k\)为最末一位\(1\)），\(0\)到\(k\)位都为\(1\)，再让\(x+1\)。此时因为进位，\(k\)位为\(1\)，\(0\)到\(k\)位都为\(0\)。与原数位与运算后，\(k\)后面的数位都因为取反而得出\(0\)，此时只有\(k\)位是\(1\)。

因为计算机补码为\((\) ~ \(n+1)\)，得出答案\(lowbit(x)=x\&(-x)\)。

扩展应用

1. 多维前缀和（与一维类似），时间复杂度为\(O(log^m_2n)\)

注意

树状数组下标不能为\(0\)，否则\(lowbit(0)=0\)，陷入死循环。