AC自动机

\(AC\)自动机

概念

与\(KMP\)类似，\(AC\)自动机也是用来处理字符串匹配问题的。但\(AC\)自动机处理的是多模式串问题（问在一篇有\(m\)个单词的文章中，有多少个不同的单词在其中出现）。

算法实现

1. 建立\(Trie\)

   我们将所有模式串构建出一颗\(Trie\)

2. 匹配

   当模式串只有一个时，\(AC\)自动机的匹配方式与\(KMP\)相同。

   现在匹配是在\(Trie\)上进行的，我们令主串\(S\)，模式串\(T\)。假设现在匹配到了\(u\)节点，即我们得到了一个从根到\(u\)构成的字符串，这是其中一个模式串的前缀\(T[1\cdots j]\)，也是主串的一段字串\(S[i-j+1\cdots i]\)。

   1. 若\(S[i + 1]\)与\(T[j+1]\)能够匹配，也就是\(u\)节点存在字符为\(S[i+1]\)的边（指向\(v\)），那么\(j+1,u=v\) 。

   2. 若匹配失败，也就是\(u\)节点不存在字符为\(S[i+1]\)的边。这时我们需要找到另外一个串，使得它有尽量长的前缀与根到\(u\)组成的字符串相等（\(T'[1\cdots k]=T[j-k+1\cdots j]\)，其中\(T'[1\cdots k]\)对应着\(Trie\)中根到某个节点\(v\)组成的字符串）。此时我们令\(u=v,j=k\)，继续匹配\(S[i + 1]\)与\(T’[j+1]\)。

   我们发现，新的\(u\)与主串\(S\)无关（与\(KMP\)一样）。我们完全可以预处理出一个数组\(nextu[u]\)，表示当匹配到\(u\)节点而无法再匹配时，满足\(T'[1\cdots k]=T[j-k+1\cdots j]\)的最深节点\(v\)。

3. 建立\(nextu\)

   建立\(nextu\)的策略与\(KMP\)中\(P\)的建立类似。显然\(nextu[u]\)的深度小于\(u\)的深度，所以我们令\(v,u\)分别表示字符串\(T'[1\cdots j],T[1\cdots i]\)，其中\(v\)是\(u\)的前缀且\(nextu[u]=v\)，现在\(u\)的边指向节点\(x\)。

   1. 若\(T'[j+1]=T[i+1]\)，设\(v\)的相同字母边为\(y\)，\(nextu[x]=y\)。
   2. 若\(T'[j+1]\neq[i+1]\)，我们令\(v=nextu[v]\)，继续重复步骤\(1\)，直到匹配或跳到空节点（\(nextu[x]=0\)）。

例题

给定\(n\)个长度不超过\(50\)的由小写字母组成的单词，以及一个文章（只有一个字符串）。问多少个单词在文中出现。

对于这道题，我们只需要在查询的时候记录每一个未访问的节点作为末尾的次数。