KMP算法

KMP算法

概念

KMP算法是用来解决字符串匹配问题的，与 哈希与哈希表 的第一个例题类似。在这里我们规定：等待匹配的串为主串（母串），用来匹配的串为模式串。

算法实现

KMP算法本质上是通过双指针实现的。我们用两个指针\(i\)和\(j\)表示\(A[i-j+1\cdots i]\)与\(B[1\cdots j]\)完全相匹配。这表明\(i\)在不断增加，\(j\)随\(i\)增加而改变。当处理完\(A[i]\)和\(B[j]\)后，现在需要检验\(A[i+1]\)和\(B[j+1]\)的关系。有两种情况：

• 当\(A[i+1]=B[j+1]\)时，匹配成功，\(i\)和\(j\)各加\(1\)。

• 当\(A[i+1] \neq B[j+1]\)时，KMP的策略是调整\(j\)的值（减小到合适位置），使\(A[i-j+1\cdots i]\)与\(B[1\cdots j]\)依然保持匹配。再尝试匹配\(A[i+1]\)与\(B[j+1]\)。

样例

我们令主串$A = $ "abababaababacb"，$B = $ "ababacb"。

当\(i=j=5\)时：

\(i=\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \(\cdots\)

\(A=\) a b a b a b a a b \(\cdots\)

\(B=\) a b a b a c b

\(j=\) 1 2 3 4 5 6 7

此时\(A[6]\ne B[6]\)。这表明，\(j\ne 5\)，我们将\(j\)改为比\(j\)小的\(j'\)。这时，我们发现必须使得\(B[1\cdots j']\)与\(B[m-j'+1\cdots m]\)相同才能保证新的\(j'\)仍然匹配。

现在还剩下一个问题，如何预处理出每一个\(j\)对应的\(j'\)？

令\(P[j]=j'\)。当当前字符串在添加一个字符后仍然满足\(j'\)的条件，也就是满足\(B[j]=B[m-j+1]\)。那么\(P[j]=P[j-1]+1\)。

但如果不满足，我们再考虑\(P[j]=P[P[j]]+1\)，以此类推。这样的算法相当于在\(B\)串内部运行一遍\(KMP\)，进行自我匹配。