bzoj2655:calc

传送门

首先我们可以将计算出所有上升序列的答案,然后自由组合乘上个\(n!\)就行了

我们设\(f(n)\)为长度为\(n\)的上升序列的答案,\(f(n,x)\)为长度为\(n\)并且包含\(x\)的上升序列的答案

那么显然有
\[ f(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{A}f(n,i) \]
也有
\[ f(n,x)=x(f(n-1)-f(n-1,x))\\ x^if(n-i-1)=x^{i}f(n-i-1,x)+x^{i-1}f(n-i,x)\\ x^if(n-i)=x^{i}f(n-i,x)+x^{i-1}f(n-i+1,x)\\ \]
我们可以考虑容斥
\[ f(n,x)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}x^if(n-i) \]
然后我们就可以把这个式子直接套到第一个式子里
\[ f(n)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{A}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}j^if(n-i)\\ f(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\sum_{j=1}^{A}j^if(n-i)\\ \]
然后对于\((-1)^{i+1}\sum_{j=1}^{A}j^i\)就是自然数幂和

伯努利数或者拉格朗日插值都行的

时间复杂度\(O(n^2)\)

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
    char ch; bool ok;
    for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
    for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=510;
int n,m,mod,fac[maxn],facinv[maxn],B[maxn],inv[maxn],g[maxn],f[maxn];
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
int del(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int mi(int a,int b){
    int ans=1;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,a);b>>=1,a=mul(a,a);}
    return ans;
}
int C(int n,int m){return mul(fac[n],mul(facinv[m],facinv[n-m]));}
int main()
{
    read(m),read(n),read(mod);
    fac[0]=inv[0]=facinv[0]=B[0]=1;
    for(rg int i=1;i<=n+1;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i),inv[i]=mi(i,mod-2);
    facinv[n+1]=mi(fac[n+1],mod-2);
    for(rg int i=n;i;i--)facinv[i]=mul(facinv[i+1],i+1);
    for(rg int i=1;i<=n;i++){
        for(rg int j=0;j<i;j++)B[i]=add(mul(C(i+1,j),B[j]),B[i]);
        B[i]=del(mod,mul(B[i],inv[i+1]));
    }
    B[1]=add(B[1],1);
    for(rg int i=1;i<=n;i++){
        for(rg int j=0;j<=i;j++)g[i]=add(g[i],mul(C(i+1,j),mul(B[j],mi(m,i-j+1))));
        if(i&1)g[i]=mul(g[i],inv[i+1]);
        else g[i]=del(mod,mul(g[i],inv[i+1]));
    }
    f[0]=1;
    for(rg int i=1;i<=n;i++){
        for(rg int j=1;j<=i;j++)
            f[i]=add(f[i],mul(f[i-j],g[j]));
        f[i]=mul(inv[i],f[i]);
    }
    printf("%d\n",mul(f[n],fac[n]));
}
posted @ 2019-05-19 21:56 蒟蒻--lichenxi 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏