快速乘法/幂 算法详解

快速幂运算

在计算 xⁿ 时，我们会怎么算呢？如果只是x * x * x * ... * x 这样每个数乘起来计算 n 次的的话，虽然算法简单，但是复杂度为 O(n) ，往往不能满足要求。让我们来考虑加速幂运算的方法。

思路一：

如果 n = 2^k ，可以将其表示为  xⁿ = ((x²)²)... ，只要做 k 次平方运算就可以轻松求得。由此我们想到，先将 n 表示为2的幂次的和 n = 2^k1 + 2^k2 + 2^k3 + ... ，就有 xⁿ = x^{2^k1} x^{2^k2} x^{2^k3} ... ，只要在依次求 x^{2^i} 的同时计算就好了，最终得到了 O(logn) 计算幂运算的算法。比如计算x²²，可以把 x²² 表示为 x² * x⁴ * x¹⁶ （22转成二进制是10110）。在进行幂运算时，往往因为结果数字过大，而让我们输出取余后的结果。下面给出代码：

typedef long long ll;

ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
    ll res = 1;
    while(n>0){
        if(n&1)  res = res * x % mod;  
　　　　　　//如果二进制最低位为1，则乘上x^(2^i)
　　　　　x = x * x % mod;  //将x平方
　　　　　n >>= 1;
    }
    return res;
}

思路二：

当n为偶数时有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) ，递归转为n/2的情况；n为奇数时有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) * x ，同样也递归转为 n/2 的情况。这样不断递归下去，每次n都减半，于是可以在O(logn)时间内完成幂运算。这个比第一种似乎更容易想到也更易理解，下面给出代码：

typedef long long ll;

ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
    if(n == 0) return 1;
    if(n == 1) return  x % mod;
    ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod);
    if(n & 1)
        res = res * x % mod;
    return res;
}

思路三：　　

还有一种非常类似的，f(x,n) = xⁿ，x为奇数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x，x为偶数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。

ll f(int x,int n){
    if(n==0) return 1;
    if(n==1) return x;
    if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x;  //如果n是奇数
    else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1);   //如果n是偶数
}

　　

快速乘法

适用范围：快速计算a*b % mod的结果（主要目的是换乘法为加法，防止爆数据），或者快速计算a^b % mod 的结果，时间复杂度大大降低。

算法描述：首先你可能会问a*b不是直接乘就出来了么，为什么需要快速算法？但是乘法在计算机中处理的时间并不是这么快的，也要拆分为加法来做的。所以快速乘法会更快的计算a*b的结果，而且a*b%mod可能还没取模就已经爆long long，但快速乘法却不会。快速幂也是同样的道理。

实现的原理都是基于按照二进制位一步一步乘来避免重复的操作，利用前面的中间结果，从而实现快速的目的。

对于乘数b来说，势必可以拆成2进制，比如110101。有一些位为0，有一些位为1。根据乘法分配律：a*b=a*（b1+b2+b3+……）
那么对于a*53 = a*110101（二进制）= a*（100000+10000+100+1）=a*（100000*1+10000*1+1000*0+100*1+10*0+1*1）。
那么设立一个ans=0用于保存答案，每一位让a*=2，在根据b的对应为1看是不是加上此时的a，即可完成快速运算。比如刚才的例子让a=5，运转流程如下。

即可计算出5*53=265。

不知道看到这里你发现了没有，其实对于快速幂其实是一样的道理，只不过每一位a更新的时候不是*2，而是a=a*a，ans+变成ans*。
例如3^9的流程如下：3^5=3^(1001) （二进制）= 3^(1000*1+100*0+10*0+1*1)

最后说一些细节吧，如果要取模在ans+、ans*、和a更新的时候都%mod即可。然后b一位一位的读取每次b/=2或者b>>=1，表示b向右移动一位，再与1做&操作即可。（见代码）

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <algorithm>  
#include <cmath>  
#include <cstring>  
#include <map>  
using namespace std;

long long q_mul(long long a,long long b,long long mod)
// 快速计算 (a*b) % mod
{
	long long ans=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)	//如果当前位为1
		{
			b--;
			ans =(ans+a)%mod;   //ans+=a
		}
		b>>=1;
		a=(a+a)%mod;
	}
	return ans;
}

long long q_pow(long long a,long long b,long long mod)
//快速计算 (a^b) % mod
{
	long long ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=q_mul(ans,a,mod); //ans*=a
		b>>=1;
		a=q_mul(a,a,mod);
	}
	return ans;
}

int main( )
{
	long long a, b, n;
	while(cin >> a >> b >> n)
	{
		cout << "a*b%n = " << q_mul( a, b, n ) << endl;
		cout << "a^b%n = " << q_pow( a, b, n ) << endl;
	}
	return 0;
}

 

// 本文部分参考：https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45459715