【题解】 CF1492E Almost Fault-Tolerant Database 暴力+复杂度分析

Legend

给定 \(n\) 个长 \(m\) 的数组 \(s_1,s_2,\cdots,s_n\)，已知这些数组都是由某一个数组修改至多两个元素得到的，求一个满足条件的数组或报告无解。

\(n\times m \le 250\,000\)。

Link \(\textrm{to Codeforces}\)。

Editorial

我们不妨就以第一个数组为样本来构造——如果存在解，必然第一个数组修改两个位置就能得到答案。

所以暴力检查第 \(i\)（\(2 \le i \le n\)） 个数组，设 \(s_i\) 与 \(s_1\) 不同的位置有 \(d\) 个

• \(d \le 2\)，继续检查 \(s_{i+1}\)；
• \(d \ge 5\)，无解；
• \(3 \le d \le 4\)，暴力把 \(s_1\) 与 \(s_i\) 不同的元素替换成 \(s_i\) 中的元素，\(i\gets 2\) 继续检查。

不难发现，这个做法并不是指数级的，而就是 \(O(nm)\) 的。

Code

那么问题来了，为什么在比赛的时候，我没有想到暴力复杂度是对的呢？

#include <bits/stdc++.h>

#define debug(...) fprintf(stderr ,__VA_ARGS__)
#define __FILE(x)\
	freopen(#x".in" ,"r" ,stdin);\
	freopen(#x".out" ,"w" ,stdout)
#define LL long long

const int MX = 250000 + 23;
const LL MOD = 998244353;

int read(){
	char k = getchar(); int x = 0;
	while(k < '0' || k > '9') k = getchar();
	while(k >= '0' && k <= '9') x = x * 10 + k - '0' ,k = getchar();
	return x;
}
using namespace std;

int n ,m;
vector<int> A[MX];
int Ans[MX];

bool check(int dep){
	if(dep >= 3) return 0;
	int ok = 1;
	for(int i = 1 ; i < n ; ++i){
		vector<int> pos;
		for(int j = 0 ; j < m ; ++j){
			if(A[i][j] != A[0][j]) pos.push_back(j);
		}
		int diff = pos.size();
		if(diff > 4) return 0;
		if(diff < 3) continue;
		if(dep == 2) return 0;

		if(diff == 3){
			for(int j = 0 ; j < 3 ; ++j){
				int org = A[0][pos[j]];
				A[0][pos[j]] = A[i][pos[j]];
				if(check(dep + 1)){
					ok = 1;
					goto End;
				}
				A[0][pos[j]] = org;
			}
			ok = 0;
			break;
		}
		else{
			for(int j = 0 ; j < 4 ; ++j){
				int org = A[0][pos[j]];
				A[0][pos[j]] = A[i][pos[j]];
				if(check(dep + 1)){
					ok = 1;
					goto End;
				}
				A[0][pos[j]] = org;
			}
			ok = 0;
			break;
		}

	}
End:
	if(ok) for(int i = 0 ; i < m ; ++i) Ans[i] = A[0][i];
	return ok;
}

int main(){
	n = read() ,m = read();
	for(int i = 0 ; i < n ; ++i){
		for(int j = 1 ; j <= m ; ++j){
			A[i].push_back(read());
		}
	}
	if(check(0)){
		puts("Yes");
		for(int i = 0 ; i < m ; ++i) printf("%d " ,Ans[i]);
	}
	else{
		puts("No");
	}
	return 0;
}