10 2021 档案
摘要：整体二分： 引入： 有些题目需要二分，但是当有多次询问二分有可能 \(T\) 飞，这个时候就用到了 整体二分 定义： 整体二分就是：多个查询一起通过二分解决，也就是和莫队一样的离线算法。 性质： 询问的答案具有可二分性。 修改对判定答案的贡献互相独立,修改之间互不影响效果。 修改如果对判定答案有贡献
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摘要：CDQ分治 定义： \(CDQ\) 分治是一种思想而不是具体的算法，和 动态规划 类似，大致分为三类： 解决和点对有关的问题。 \(1D\) 动态规划的优化转移 通过 \(CDQ\) 分治，将一些动态问题转化为静态问题。 解决和点对有关的问题： 这类问题类似于： 给定一个长度为 \(n\) 的序列，
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摘要：[HNOI2012]永无乡 题意： 一共 \(n\) 个点，每个点权值，给你 \(q\) 个操作： B x y 表示连接 \(x,y\) Q x k 表示求当前 \(x\) 所在连通块内权值第 \(k\) 小的点的编号 分析： 求一个联通块内的权值第 \(k\) 小的点，很容易想到主席树或者权值线段
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摘要：权值线段树 定义： 普通线段树维护的是数列的区间信息，而权值线段树维护了一列数中数的个数。 也就是说，我们的权值线段树就是用线段树维护了一堆桶 例子： 给定一个排列： \(1,1,1,2,3,4,5\) 其中，一棵线段树的叶子节点维护的是：有几个 \(1\)，有几个 \(2\)。 他们的父亲节点维护
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摘要：线段树合并 前置芝士： 动态开点线段树和权值线段树： 因为只有动态开点线段树，在合并时才不用完整建一棵线段树 问题： 如果有若干个线段树，维护相同的值域，并且在某一棵线段树上进行单点修改操作。 最后，我们希望把这些线段树对应位置上的值相加，同时维护区间最大值。 这样，就用到了线段树合并： 思想： 就
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摘要：[SCOI2007]排列 题意： 给一个数字串 \(s\) 和正整数 \(d\), 统计 \(s\) 有多少种不同的排列能被 \(d\) 整除，可以有前导 \(0\) 。 分析： 看最多只有 \(10\) 位，我们考虑状压： 设 \(dp[S][i]\) 表示枚举到集合为 \(S\) 时形成的数，模
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摘要：[ZJOI2006]三色二叉树 题意： 给定一个中序遍历的二叉树序列 , 每个值代表： \(0\) 无儿子 \(1\) 有左儿子 \(2\) 有右儿子 要求染色，一共有三种颜色：绿，蓝，红，儿子不和父亲颜色相同，若有两个儿子节点则两个儿子节点颜色也不相同，求一种颜色染色个数的最大值和最小值。 分析：
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摘要：[TJOI2007]跳棋 题意： 给定一个 \(n \times n\) 的图，有 \(0\) 和 \(1\) 两种点权，每个 \(0\) 能到上下左右同一列/行的下一个 \(0\) ，每个 \(0\) 只能经过一次，给定一个起点，求路径最长。 分析： 因为只能横着/竖着走，因此只能向一个方向拓展。
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摘要：CSP2021 游记 游记？ 游寄！ 下午刚进考场的时候一直在看对拍程序....但是到了考场上发现根本用不上笑死 考前 \(20\) 分钟进了考场...就我们考场进的最慢 考场座位太小了，差评！ 考前不让打板子，差评！ 坐到第二排离老师太近了，差评！ 发题： \(T1\): 看着有点熟悉，应该就是排
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摘要：主席树 引入： 一个问题：给定 \(n\) 个数，一共 \(m\) 次询问，每次都要询问 \([l,r]\) 的第 \(k\) 大的数，其中 \(n,m,l,r\) 均不超过 \(2 \times 10^5\)。 解决： 暴力想法： 显而易见，最暴力的方法就是区间 \(sort\) 之后输出第 \(
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摘要：快速傅里叶 （这个博客主要帮助自己记着FFT这个算法，并不是讲解用的QAQ） 定义： 现在有两个多项式： \(f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+...+a_nx^{n-1}\) \(g(x)=b_1+b_2x+g_3x^2+...+g_mx^{m-1}\) 加入我们计算 \(f(x)*g(x
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摘要：拉格朗日插值 很久很久以前，有一个人叫拉格朗日，他发现了拉格朗日插值，可以求出给出函数 \(f(x)\) 的 \(n+1\) 个点，求出这个函数 \(f(x)\) 的值。 推论： 根据某些定理可知： \(f(x)\equiv f(a)\bmod(x-a)\) 那么我们就可以把这个 \(n+1\) 个
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摘要：笛卡尔树 大部分内容来自 OI-WIKI 定义： 笛卡尔树是一种二叉树，每一个结点由一个键值二元组 \((k,w)\) 构成。 要求 \(k\) 满足二叉搜索树的性质，而 \(w\) 满足堆的性质。 如果笛卡尔树的 \(k,w\) 键值确定，\(k,w\) 互不相同，那么这个笛卡尔树的结构是唯一的。
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摘要：[AGC028B] Removing Blocks 题意： 给定长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_n\}\)，现需将 \(n\) 个元素全部删除。 删除元素 \(i\) 的时候，设包括 \(i\) 的极长未被删除区间为 \([l,r]\) ，则代价为 \(\sum_{p=l}^r a_p\)
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摘要：终焉之排列 题意： 给定一个序列 \(a\)，求有没有点对满足 \(x\leq y \leq z\) ,有 \(a_x+a_z=2a_y\) 分析： 暴力写法当然是记录每个值出现的位置，然后对于每一个 \(a_i\) 向两边进行搜索。 但是 暴力是一种虫豸的写法 ，考虑正解。 我们设 \(h[x]=
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摘要：[CSP-S2019 江西] 多叉堆 题意： 给定 \(n\) 个节点，初始独立，有 \(q\) 次操作： 1,x,y 选择 \(x\) , \(y\)，将以 \(x\) 为根的子树合并到 \(y\) 2 x 选择节点 \(x\) ，求节点 \(x\) 所在的树成 小根堆 的概率 分析： 我看题解大
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摘要：[NOIP1998 提高组] 进制位 题意： 给定一个字母表 \(S\)，第一行或第一列代表了所有的字符，每个字符对应一个数，且 \(s[i][1]=s[1][i]\)。 其中 \(S[i][j]\) 表示 \(S[1][i]+S[j][1]\) 。 请你求出每个字母对应的数字和进位制，如果不行输出
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摘要：费用流： 定义： 给定一个网络 \(G=(V,E)\), 每条边除了有容量限制 \(c(u,v)\) , 还有一个单位流量的费用 \(w(u,v)\) 当 \((u,v)\) 的流量 \(f(u,v)\) 时，需要花费 \(f(u,v) \times w(u,x)\) \(w\) 也满足对称性，即
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摘要：网络流： 定义： 网络： 网络是指一个有向图 \(G =(V,E)\). 每条边 \((x,y) \in E\) 都有一个权值 \(c(u,v)\) ，称之为容量，当 \((u,v) \notin E\) 时有 \(c(u,v)=0\) 其中有两个特殊的点：源点 \(s\) 和汇点 \(t\), \
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摘要：最小割 定义： 给定一个网络 \(G=(V,E)\) ，源点为 \(s\) , 汇点为 \(t\) ，若一个边集被删去之后，源点和汇点不在联通，则称该边集为网络的割。 边的容量之和最小的割叫做网络流的最小割。 定理： 任何一个网络的最大流量等于最小割中边的容量之和，简称为: 最大流=最小割 过程：
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摘要：最大流： 定义： 有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点） 概念： 残量网络： 定义 \(c_f(u,v)\) 为边的流量之差，表示这条边的容量和流量之差，即： \(c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\) 对于流函数 \(f\) ，残存网络 \(G_f\) 是网络
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摘要：概率 \(DP\) 定义： 概率 \(DP\) 用于解决概率问题与期望问题。 一般般情况下，解决概率问题需要顺序循环，而解决期望问题使用逆序循环 如果定义的状态转移方程存在后效性问题，还需要用到 高斯消元 来优化 同时，也会结合其他转移方式进行考察： \(DP\) 求概率： 这类题目采用顺推，难点是
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摘要：并查集 概念： 并查集就是将数组中的数经过树状排列后， 如果寻找两个数是否属于同一集合， 直接找是否属于同一根节点的子树就可以。 路径压缩和按秩合并 路径压缩： 在每次执行 \(get\) 操作的同时， 把访问过的每个节点（也就是所查的元素的祖先，都直接指向树根) 每次 \(get\) 的均摊复杂度
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摘要：树状数组 前导： 任何数字都可以用2的几次幂的加和来表示，例如： \(7=2^2+2^1+2^0\) 其中，可以把这些数字通过二进制进行分段，如 \(7=[1,4],[5,6],[7,7]\) 可以通过 \(lowbit\) 运算来表示其段数，接下来是代码： #include<bits/stdc++
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摘要：$next_permutation$函数 其实就是算从 \([1-n]\) 的所有数的全部的排列可能情况 先看代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int num[3]={1,2,3}; do { cout<<num[
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摘要：\(Trie\) 树 基本概念： \(trie\) 主要是用来存放字符串的，每一个节点表示一个字符，每个 \(node\) 都表示一个根节点. 就像这样：插入 \(see，pain，pand，dog，trie\) （可以得出一个性质就是如果全是小写字母，每个根节点最多有$26$个根节点） 相关代码：
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摘要：题意： \(K\) 种物品，求一次取一件把所有种类取遍的概率不小于 \(p/2000\) 的最小天数。 \(p\) 有 \(Q\) 次询问。 分析： 概率 \(dp\) ，而且选择的顺序没关系，因此二维就可以了 设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 天，之前已经选择了 \(j\) 种物品
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摘要：期望： 符号/定义： 概率： \(P(A)\) 表示事件 \(A\) 发生的概率： 对于离散的情况，假设一共有 \(n\) 种情况均匀随机，其中 \(m\) 种使得事件 \(A\) 成立，那么 \(P(A)=\frac{m}{n}\) 。 因此，概率在很多情况下可以看成是计数。 直接考虑概率也有优点
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摘要：[HNOI2015]亚瑟王 题意： 一共 \(n\) 张牌 \(r\) 轮，给定每张牌在每一轮中出现的概率 \(p[i]\) 和权值 \(d[i]\) 。 若一张牌出现，则进入下一轮，这张牌无效。 若所有牌遍历完，也进入下一轮。 问期望的权值之和。 分析： 因为期望是线性的，因此我们设 \(g[i]
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摘要：高斯消元两种形式 定义： 使用高斯消元时，我们会碰到两种形式： 正常的高斯消元，没有模数或模数为质数 设枚举了矩阵中的两行： \[ \quad \begin{bmatrix} a_{i,i} & a_{i,i+1} & .... & a_{i,n} \\ a_{j,i} & a_{j,i+1} &
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摘要：[SHOI2014]概率充电器 题意： 有一棵树，每个点都有直接通电的概率，每条线有导电的概率，一个点的电可以通过导线传递到其他点，询问通电点数的期望。 分析： 通电的点的数量的期望就是每个点通电的概率之和 先设 \(h[i]\) 作为一个点是否通电的概率，\(p[i,j]\) 为导线 \((i,j
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摘要：排列组合： 排列推导： \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}\) 很好证明，将定义式子写出来后合并分数即可. 二项式定理： \((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{n-i}b^i\) 证明可以利用上面的推导做归纳。
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摘要：错排问题： 定义： 给定 \(n\) 元素集合 \(X\) ,它的每一个元素都有一个特定的位置. 而现在要求求出集合 \(X\) 的排列中没有一个元素在它指定位置上的排列的数目. 这样的问题叫做错排问题 解决： 我们设 \(D[n]\) 表示 \(n\) 个元素的错排数 根据容斥原理，我们能得到以下
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摘要：裴蜀定理： 定义： 若 \(a,b\) 不全为零，则存在 \(x,y\) ，使得 \(ax+by=gcd(a,b)\) 证明： 记住就行了，证明太长了不想写了..... 例题： CF510D Fox And Jumping 题意： 给出 \(n\) 张卡片，分别有 \(l_i\) 和 \(c_i\)
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摘要：欧拉函数： 定义： \(\varphi (n)\) 表示小于等于 \(n\) ，和 \(n\) 互质的数的个数。 当 \(n\) 为质数， \(\varphi(n)=n-1\) 性质： 欧拉函数为积性函数(可以用线性筛计算) 如果 \(gcd(a,b)=1\) , 那么 $\varphi(a \ti
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摘要：数论分块 定义： 数论分块可以在 \(O \sqrt{n}\) 的时间里计算一些有除法下取整的和式。 主要是 将 \(\frac{n}{d}\) 相同的数一起同时计算。 定理： 定理 \(1\): \(a,b,c \in \mathbb{Z}, \lfloor \frac{a}{bc} \rfloo
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摘要：P3469 [POI2008]BLO-Blockade 题意： 有一个连通的有向图，求出删除一个点后，不能连通的点对的个数 (\((x,y),(y,x)\) 算两对) 分析： 很明显，既然涉及到环类求点集的题目，很明显是 \(tarjan\) 。 有一个性质： 从一个点集到另一个点集，形成的点对个数
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