摘要：
对于全源最短路径问题（All-Pairs Shortest Paths Problem），可以认为是单源最短路径问题的推广，即分别以每个顶点作为源顶点并求其至其它顶点的最短距离。Johnson 算法描述如下：给定图 G = (V, E)，增加一个新的顶点 s，使 s 指向图 G 中的所有顶点都建立连接，设新的图为 G’；对图 G’ 中顶点 s 使用 Bellman-Ford 算法计算单源最短路径，得到结果 h[] = {h[0], h[1], .. h[V-1]}；对原图 G 中的所有边进行 "re-weight"，即对于每个边 (u, v)，其新的权值为 w(u, v) + (h[u] - h[v])；移除新增的顶点 s，对每个顶点运行 Dijkstra 算法求得最短路径；Johnson 算法的运行时间为 O(V2logV + VE)。 阅读全文
摘要：
Floyd-Warshall 算法采用动态规划方案来解决在一个有向图 G = (V, E) 上每对顶点间的最短路径问题，其中图 G 允许存在权值为负的边，但不存在权值为负的回路。Floyd-Warshall 算法的运行时间为 Θ(V^3)。Floyd-Warshall 算法的设计基于了如下观察。设带权图 G = (V, E) 中的所有顶点 V = {1, 2, . . . , n}，考虑一个顶点子集 {1, 2, . . . , k}。对于任意对顶点 i, j，考虑从顶点 i 到 j 的所有路径的中间顶点都来自该子集 {1, 2, . . . , k}，设 p 是该子集中的最短路径。Floyd-Warshall 算法描述了 p 与 i, j 间最短路径及中间顶点集合 {1, 2, . . . , k - 1} 的关系，该关系依赖于 k 是否是路径 p 上的一个中间顶点。 阅读全文
摘要：
Dijkstra 算法又称为单源最短路径算法，由计算机科学家 Edsger Dijkstra 于 1956 年构思并于 1959 年发表。其解决的问题是：给定图 G 和源顶点 v，找到从 v 至图中所有顶点的最短路径。Dijkstra 算法的初始实现版本并未使用最小优先队列实现，其时间复杂度为 O(V^2)。Leyzorek et al 在 1957 提供了基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本，其时间复杂度为 O(VlogV)。 阅读全文
摘要：
Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年。Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。 阅读全文