排序算法之插入排序

　　插入排序，顾名思义就是寻找适当的位置，插入记录，使得整个表变成有序。插入排序有直接插入排序、折半插入排序、2路插入排序、希尔排序等，这边文章主要介绍直接插入排序、折半插入排序和希尔排序。

一、直接插入排序

　　插入排序最好的示例是扑克牌，很多书都以抓扑克牌的过程为例子讲述插入的排序过程，抓牌的过程和插入排序很类似，但有区别，我这里用一个更贴切插入排序的示例展示插入排序的过程。假设你在打牌，突然要上厕所了，牌友给你抓一下牌，牌友只会把属于你的牌扔在你的位子上，不会给你排序，等你回来，你拿起一看，一手黑桃，好牌啊：

　　　　

　　现在你需要将手牌从左到右按小到大排序。

　　你从最左边开始排序，最左边1张牌，显然对于前1张牌是有序的。

　　现在从左边第2张牌开始，第2张牌和第1张比较，发现五比七小，不需要移动，前2张牌就已经有序。

　　　　　

　　接下来看第3张牌：

　　　　

　　第3张牌黑桃四依次与左边的牌比较，四比七小，四应该往左移，四再与五比较，四比五也小，继续往前移。

　　　　　　　

　　这样前3张牌就已经有序了；

　　往下看第4张牌：

　　　　

　　黑桃三依次与左边的牌比较，如果比三大就交换，直到遇到比三小的牌或者前面已经没有牌了，可以看到，三应该插在最前面，其他3张牌依次后移。

　　　　　

　　移动之后，前4张牌就已经有序了；

　　在看第五张牌：

　　　　

　　第5张牌黑桃八依次与前面的牌比较，发现八比前面一张牌七大，也就是八比前面的4张牌都大了，不需要移动牌，前5张就已经有序了；

　　再看第6张牌：

　　　　

　　我们发现第6张牌黑桃九比前面的八大了，那我们不需要移动就可以保持前6张牌有序了；

　　最后我们来看第7张牌：

　　　　

　　第7张牌黑桃六依次与前面的牌比较，如果前一张牌比六大就交换，直到遇到比六小的牌或者前面已经没有牌了。

　　　　

　　黑桃六应该插入到五和七之间，九、八、七依次后移，移动之后这一手牌就按递增有序了。

　　　　

　　以上就一个直接插入排序的全过程。我们来看看直接插入排序算法的代码：　　　　

void insertSort(int*  data, int len){
    int sentry;//哨兵
    int i,j;
    for(i = 1; i < len; i ++){//从第二个元素开始排序，前面的一个元素默认有序了        
        if (data[i] < data[i-1]){
            sentry = data[i];//复制为哨兵
            for(j = i-1; sentry < data[j]; j --){
                data[j+1] = data[j];//记录后移 
            }
            data[j+1] = sentry;//插入到适当的位置
        }        
    }
}

　　直接插入排序的思想很简单，每一趟排序有序表长度加1，在给记录找出入位置的同时，后移比它大（这里针对非递减排序）的元素。分析直接插入排序算法的时空复杂度。

　　空间上只需要一个哨兵做辅助空间，即空间复杂度为O(1)；

　　对每一趟排序，需要完成比较和移动两个操作，最好情况下，待排序的记录已经有序，每一趟排序只需比较1次，共∑1 = (n-1)次比较，不需要移动元素；最坏情况下，待排序的记录为逆序。比较次数共∑i = (n+2)(n-1)/2，移动共∑(i+1)=(n+4)(n-1)/2次。因此平均情况下，直接插入排序的时间复杂度为O(n^2)。

　　我选择用这个中途上厕所回来清牌的例子，而不用抓牌的过程，因为我认为插入排序是一个原地排序，不需要申请额外的记录表。抓牌的过程让人感觉手里的牌和还没有抓上来的牌是不同的记录表；而上厕所回来清牌，桌上乱序的牌就是一张待排序的记录表，清牌的过程是在这个表上进行的，明显没有另辟空间。 

二、折半插入排序

　　直接插入排序中，每次查找插入位置时，都是依次往前进行比较。我们进行第i（i>1）趟排序时，前（i-1）个记录已经有序，于是查找插入位置我们可以用折半查找。算法如下：

void bInsertSort(int*  data, int len){
    int sentry;//哨兵
    int i,j;
    int low,high,middle;
    for(i = 1; i < len; i ++){
        sentry = data[i]; //复制哨兵
        low = 0;
        high = i - 1;
        while(low <= high){        //寻找插入位置
            middle = (low + high) / 2; //折半下标
            if  (sentry > data[middle]) //插入点在高半区
                low = middle + 1;
            else                        //插入点在低半区
                high = middle - 1;
        }
        for(j = i -1; j >= high + 1; j --){
            data[j+1] = data[j];//记录后移
        }
        data[j+1] = sentry;//插入到适当的位置    
    }
}

　　折半插入排序只是减少了寻找插入位置而进行的比较次数，而移动记录的次数并没有减少。因此折半插入的时间复杂度仍然是O(N^2)。

 

三、希尔排序

　　不论是直接插入排序还是折半插入排序，当待排记录表很长时，排序效率会比较低，因为记录表很长时，平均每趟移动的记录数就会很多。

　　　　

　　如上图，假设这个记录表的长度是10005，当前面1000个记录已经有序了，现在需要排第10001个记录时，发现第10001个记录需要插入到第一个位置，一共需要进行10000次移动元素。直接插入排序移动元素只能进行相邻的局部移动，不能实现跨越式的移动。

　　希尔排序就是从这点出发对直接插入排序进行改进。它的基本思想是：先将整个待排序的记录表分割成几个子表，对子表分别进行直接插入排序，子表的长度比较小，排序的效率会比较高。算法如下：

void shellInsert(int* data,int len, int dk){
    int sentry;//哨兵
    int i,j;
    for (i = dk ; i < len; i ++){
        if (data[i - dk] > data[i]){
            sentry = data[i];
            for(j = i - dk; j >= 0 && sentry < data[j]; j -= dk){
                data[j + dk] = data[j];//记录后移 
            }
            data[j + dk] = sentry;//插入到适当的位置
        }
        
    }
}

void shellSort(int* data,int len, int dlta[],int dlen){
    int k;
    for(k = 0; k < dlen; k ++){        
         shellInsert(data,len,dlta[k]);    //一趟增量为dlta[k]的插入排序             
    }
}

　　希尔排序中的子序列并不是简单的逐段分割，而是将相隔某个增量的记录组成一个子序列，下图的三趟排序的增量分别为5、3、1。

　　　　

　　我们发现在希尔排序中，较小的记录不是相邻的局部移动，而是跳跃式的移动，在最后一趟时，增量为1，待排记录表已经基本有序，利用直接插入排序即可完成排序，希尔排序的时间复杂度仍为O(n^2)，但多项式系数比直接插入排序小，算法效率较高。另外希尔排序不同与直接插入排序和折半插入排序，希尔排序是不稳定的排序算法，可以考到上图中的两个相同的记录49在排序前后交换了顺序，而直接插入排序和折半插入排序是稳定的，不会改变相同记录之间的相对位置。

　　参考资料：[1]严蔚敏，吴伟明.数据结构（C语言版）,清华大学出版社.

　　　　　　　[2]Thomas H.Cormen等.算法导论，机械工业出版社.

　　画图工具：PPT + QQ截图