第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛（秋季赛）正式赛题解&比赛回顾

前言

很幸运地拿到了 rank 1！感谢主办方老板（

这次 rank 1 就是实力碾压了，队友负责写牛逼题我负责写傻逼题。

比赛回顾

咕咕咕

题解

题解会尽量照顾到所有水平的选手，会很通俗易懂

这次有些题是队友写的，于是我给的题解不一定描述的很清楚，这里给出甩锅名单，看不懂请找做这个题的人。

ACEFG by me
DHI by shygo_cmll01
BJK by pigstd

如果我没更新记得私信/QQ催我！

Overall

题目编号	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
思维难度	8	1	2	0	2	0	3	3	4	0	6
实现难度	8	2	3	2	1	0	2	3	4	0	8

所有难度均从 \(0\) 到 \(10\) 打分。

Problem A 分组

重题 Codeforces 755G。

值得一提的是这里开大数据范围卡掉了倍增 FFT 的垃圾做法。

代码

Problem B 二进制

题面

你需要维护 $k$ 棵线段树，支持其中一个子集的区间加和查询一个子集的区间和之和。

\(n,q\leq 10^5\)，\(k=10\)。

题解

根据题意暴力对每棵线段树操作即可。

时间复杂度 \(O(k(n+q)\log n)\)。

代码

Problem C 不正方形

题面

给 $n$ 个红点，$m$ 个蓝点，问是否存在一个凸四边形使得相对顶点颜色相同。

\(n,m\leq 250,x_i,y_i\leq 10^7\)。

题解

问题等价于是否存在一条红点之间的线和蓝点之间的线相交。

暴力判断的时间复杂度为 \(O(n^2m^2)\)，不能通过。

考虑如果某条红点组成的线和蓝点组成的线有交，显然红点组成的线和蓝点组成的凸包有交。

而如果红点组成的线和蓝点组成的凸包有交，显然红点组成的线和蓝点组成的线也一定有交。

直接每条线和凸包求交即可。

时间复杂度为 \(O(n^2m)\)，可以通过一些技巧优化。

代码

Problem D 分配颜色

题面

有 $n$ 行 $m$ 列矩阵，$p$ 次将任意行取反，$q$ 次将任意列取反，问最后共 $t$ 个元素被取反的方案数量有多少，对一个非质数取模。

题解

考虑通过 dp 算出用 $i$ 个操作将 $j$ 行/列取反的方案数，最后枚举取反的行数和列数即可。

时间复杂度 \(O(np+mq+nm)\)。

代码

Problem E 土地规划

题面

有一个二维平面，第 $1$ 时刻 $(0,0)$ 会变成红色。

对于之后的每个偶数时刻，如果存在 \((x-2,y)\) 和 \((x-1,y-1)\) 一个染红色，一个没有染色，\((x,y)\) 就会被染成蓝色。

对于之后的每个奇数时刻，如果存在 \((x-2,y)\) 和 \((x-1,y-1)\) 一个染蓝色，一个没有染色，\((x,y)\) 就会被染成红色。

问 \(T\) 个时刻后某个矩形中的所有点的颜色。

\(T,x,y\leq 10^{12}\)，矩阵边长 \(d\) 不超过 \(50\)。

题解

首先观察到性质：第 $i$ 次染上的点的 $x,y$ 坐标之和一定是 $2i$，证明可以使用归纳法。

因此，染色的过程就是向右上一层一层撒点的过程。

注意到两个中恰好一个的条件可以看作奇偶性，于是我们直接转化条件为 \((x,y)\) 的权值等于 \((x-2,y)\) 和 \((x-1,y-1)\) 的权值和，求每个位置的权值和奇偶性。

不难发现这样就是一个杨辉三角，即求组合数奇偶性了，我们可以使用卢卡斯定理或者一个经典结论完成。

时间复杂度 \(d^2\) 或 \(d^2\log(x+y)\)。

代码

Problem F CTF

题面

你在前 $2^1$ 天会每天写 $1$ 题，接下来 $2^2$ 天每天写 $2$ 题，接下来 $2^3$ 天每天写 $3$ 题，以此类推，问你前 $n$ 天会写多少题。

\(n\leq 10^7\)。

题解

考虑直接暴力枚举每天写 $i$ 题的日子为 $[l_i,r_i]$，和 $[1,n]$ 取交集加入答案，当 $l_i>n$ 时直接跳出即可。

时间复杂度 \(O(\log n)\)。

代码

Problem G 希望

题面

有两棵 $n$ 个点的树，编号都为 $1\sim n$，随机一个排列 $p$，将 $i$ 与 $p_i$ 连边，求长度为 $m$ 的简单环的数量的期望，保留四位小数。

\(n\leq 300\)，\(3\leq m\leq 7\)。

题解

显然环一定形如从 $x$ 走树边到 $y$，走 $i\to p_i$ 的边到 $p_y$，走树边到 $p_x$，走 $p_i\to i$ 的边回到 $x$，因为每个环出现的概率都是 $\frac{2}{n(n-1)}$，于是数环的数量即可。

于是直接枚举四个点就可以算这个环是否合法了，预处理两点之间距离后时间复杂度为 \(O(n^4)\)，不能通过。

事实上两步枚举可以分开，预处理两棵树上距离为 \(d\) 的路径的数量即可。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

代码

Problem H 只有小A受伤的世界完成了

题面

一条直线上有 $n$ 个点，所有点对之间连边，一开始所有边从左向右连。

有 \(m\) 次操作，每次给出一条线段，如果两个点都在线段内就反转这两个点之间的边的方向。

问所有操作结束后存在几个有向三元环。

\(n,m\leq 10^5\)，\(a_i\leq 10^9\)。

题解

对于三个点 $(x,y,z)$，它们不能形成三元环当且仅当某两个点向第三个点连边的方向相等 。

所以枚举 \(x\)，求出 \(y,z\) 向 \(x\) 连边方向相同的点对数量即可，这个问题可以使用线段树加扫描线维护。

时间复杂度 \(O(m\log n)\)。

代码

Problem I 排队队

题面

有 $n$ 个人，每个人有属性 $a_i,p_i,q_i$。

将 \(n\) 个人排队，如果一个人前面的人和他的 \(a_i\) 一样就有 \(p_i\) 的贡献，不然就有 \(q_i\) 的贡献，问所有人的贡献之和的最大值。

\(n,a_i\leq 5\times 10^5\)，\(p_i,q_i\leq 2000\)。

题解

先考虑每个人和前面的 $a_i$ 都一样，这样显然是 $\sum p_i$ 的贡献。

然后考虑将若干个 \(p_i<q_i\) 的人进行调整，使他们的 \(a_i\) 和前面的人相同并更新贡献。

当 \(a_i=x\) 的 \(i\) 的数量超过 \(\frac{n}{2}\) 时，需要一些技巧来处理细节。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

Problem J 抽奖

题面

你有 $x$ 个原石和 $0$ 个星辉，每 $160$ 个原石或者 $5$ 个星辉可以抽一发，每抽 $10$ 发会得到 $3$ 个星辉，问你能抽多少发。

\(x\le 10^8\)。

题解

先把原石全抽完，最后不断抽完星辉再根据累计抽奖数量更新星辉数量即可。

显然你的星辉数量每次以对数级减少。

时间复杂度 \(O(\log x)\)。

代码

Problem K 树

题面

给你一个有边权的树，求一个字典序最小的排列 $p$ 满足 $\sum _{i=1}^ndis_{i,p_i}$ 最大，输出答案和排列。

数据范围 \(n \le 10^5\)。

题解

一个显然的上限是对于每条边 $(u,v,w)$，那么这条边的贡献最大是 $w \times t$，其中 $t$ 为这条边两边的点数的最小值，并且不难直接构造出一个排列满足条件，但是此题要求字典序最小。

找出数的重心并且以其为根，定义一个数 \(u\) 的颜色 \(c_u\) 表示 \(u\) 的深度最小且不为根的祖先，特别的有 \(c_{rt}=rt\)，那么显然不能有 \(c_{p_i}=c_i(i \ne rt)\)，并且满足上述条件即可取到最大值（显然）。

那么就先贪心的取数，一开始可以直接随便选，当取到一种颜色需要删掉的次数等于别的颜色需要删掉的次数（每个点要删两次）的时候就不能随便选了，必须要一一对应，否则就会出现上述矛盾的情况，删除等操作使用一些简单的数据结构和 dfs 序维护即可，细节较多。

代码