⑨讲图论第一课: 图的基本概念

图的定义：一个图G是由两个集合V和E组成，V是有限的非空顶点集，E是V上的顶点对所构成的边集，分别用V（G）和E（G）来表示图中的顶点集和边集。用二元组G=（V，E）来表示图G。 

有向图与无向图：若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图。有向边也称为弧。若图G中的每条边都是没有方向的，则称G为无向图。

完全图：对有n个顶点的图，若为无向图且边数为n(n-1)/2，则称其为无向完全图；若为有向图且边数为n(n-1) ，则称其为有向完全图。 

邻接顶点：若（vi,vj）是一条无向边，则称顶点vi和vj互为邻接点，或称vi和vj相邻接，并称边（vi,vj）关联于顶点vi和vj，或称（vi,vj）与顶点vi和vj相关联。

 

顶点的度 ：一个顶点v的度是与它相关联的边的条数。
顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数。

顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数。 

子图：设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’∈V 且 E’∈E, 则称 图G’ 是 图G 的子图。

路径：在图 G＝(V, E) 中，若存在一个顶点序列vp1, vp2, …, vpm，使得(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)均属于E，则称顶点vi到vj存在一条路径。若一条路径上除了vi 和vj 可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。起点和终点相同的路径称为简单回路或简单环。

图的连通：在无向图G中，若两个顶点vi和vj之间有路径存在，则称vi和vj是连通的。若G中任意两个顶点都是连通的，则称G为连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。 

强连通图与强连通分量：在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。 

权：某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权图叫做网络。