线性代数基础知识的复习
线性代数基础知识的复习
机器学习需要一些线性代数的基础知识。
matrix:矩阵
- A是一个\(4\times2\)的矩阵,由4行2列组成,并且由两个中括号括起来。记作\(R^{4\times2}\).
- B是一个\(2\times3\)的矩阵,由2行3列组成,并且由两个中括号括起来。记作\(R^{2\times3}\).
- \(A_{ij}\)用来表示矩阵中的某一个元素,其中\(i\)代表矩阵的行。\(j\)代表矩阵的列
- \(A_{11}=1402\)
- \(A_{12}=191\)
- \(A_{132}=1437\)
- \(A_{41}=147\)
- \(A_{43}=undefined\)
vector:向量
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\(y\)是一组向量,可以把向量看作是一个\({n\times1}\)的矩阵。此处n=4,所以记作\(R^{4}\)。
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\(y_i\)是向量中的第\(i^{th}\)个元素
- \(y_1=460\)
- \(y_2=232\)
- \(y_3=315\)
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学习过高级语言的朋友一定知道,例如c++中的STL标准库中vector的index是从0开始算的。而在人们实际生活学习中,大部分人习惯从1开始。因此,在学习机器学习中,我们一般用1作为起始,而在编写程序实现的时候,则切换回0。
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附上一段MATLAB的程序
% The ; denotes we are going back to a new row. A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12] % Initialize a vector v = [1;2;3] % Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns [m,n] = size(A) % You could also store it this way dim_A = size(A) % Get the dimension of the vector v dim_v = size(v) % Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A A_23 = A(2,3)
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v = 1 2 3 m = 4 n = 3 dim_A = 4 3 dim_v = 3 1 A_23 = 6
矩阵加法
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上面有一个矩阵加法的例子。
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首先,两个矩阵维度必须相同,即相同的行数相同的列数。
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两个矩阵加法就是将对位置的数字加起来,然后得到一个新的矩阵,且这个矩阵和原来两个矩阵维度相同。
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在维度不同的情况下无法进行加法运算,例如:
\[\]1 & 0 \
2 & 5 \
3 & 1 \
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4 & 0.5 \
2 & 5 \
\end\mathop{error}
\[ \]
-
上面有一个矩阵乘法的例子,注意是实数乘矩阵。
-
结果是直接将矩阵的各个元素与实数相乘,得到一个新的矩阵,维数一定相同
-
对于实数乘矩阵来说,是先乘还是后乘不影响结果
-
除法类似于乘法:
\[\]4 & 0 \
6 & 3 \
\end{bmatrix}
\setminus
4\frac{1}{4}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 0 \
6 & 15 \
\end\begin{bmatrix}
1 & 0 \
\frac{3}{2} & \frac{3}{4} \
\end{bmatrix}
\times3\[ \]
-
MATLAB代码:
% Initialize matrix A and B A = [1, 2, 4; 5, 3, 2] B = [1, 3, 4; 1, 1, 1] % Initialize constant s s = 2 % See how element-wise addition works add_AB = A + B % See how element-wise subtraction works sub_AB = A - B % See how scalar multiplication works mult_As = A * s % Divide A by s div_As = A / s % What happens if we have a Matrix + scalar? add_As = A + s
A = 1 2 4 5 3 2 B = 1 3 4 1 1 1 s = 2 add_AB = 2 5 8 6 4 3 sub_AB = 0 -1 0 4 2 1 mult_As = 2 4 8 10 6 4 div_As = 0.5000 1.0000 2.0000 2.5000 1.5000 1.0000 add_As = 3 4 6 7 5 4
矩阵与向量相乘
-
上面有一个特殊例子,展示了矩阵与向量相乘的等式和过程
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相乘的条件:
- 设矩阵为\(A\),向量为\(B\)。
- \(A_j=B_i\)(A的列数等于B的行数)
-
将A的一行和B的一列的每个元素相乘,并相加得到一个数值。
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新的得到的矩阵的行数与矩阵相同,列数与向量相同。
可以参考一下下面这个例子:
\[\]\[ \]% Initialize matrix A A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] % Initialize vector v v = [1; 1; 1] % Multiply A * v Av = A * v
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v = 1 1 1 Av = 6 15 24
矩阵与矩阵相乘
我们现在开始计算这样一个算式
用刚刚学过的矩阵乘向量,将第二个矩阵拆成两个向量
其实我们已经计算完成了,只差最后一步,按原来列的顺序将答案合并,可以得到
-
相乘的条件:
- 设矩阵1为\(A\),矩阵2为\(B\)。
- \(A_j=B_i\)(A的列数等于B的行数)
-
将A的一行和B的一列的每个元素相乘,并相加得到一个数值。
-
新的得到的矩阵的行数与A相同,列数与B相同。即\(R^{m*n} \times R^{n*o} = R^{m*o}\)
可以参考一下下面这个例子:
\[\]a & b \\ c & d \\ e & f \\
\end {bmatrix}
*
\begin {bmatrix}
w & x \
y & z \
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
aw + by & ax + bz\
cw + dy & cx + dz\
ew + fy & ex + fz\
\end {bmatrix}\[ \]% Initialize a 3 by 2 matrix A = [1, 2; 3, 4;5, 6] % Initialize a 2 by 1 matrix B = [1; 2] % We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) mult_AB = A*B % Make sure you understand why we got that result
A = 1 2 3 4 5 6 B = 1 2 mult_AB = 5 11 17
矩阵乘法的一些性质
-
不可交换(in general)
在实数乘法中,两个数交换之后结果相同是一个常识:
\[\]\[\]我们用上面的矩阵乘法尝试一下:
\[\]1 & 1 \\ 0 & 0 \\
\end {bmatrix}
*
\begin {bmatrix}
0 & 0 \
2 & 0 \
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
2 & 0 \
0 & 0 \
\end {bmatrix}\[ \]\begin {bmatrix}
0 & 0 \
2 & 0 \
\end {bmatrix}
*
\begin {bmatrix}
1 & 1 \
0 & 0 \
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
0 & 0 \
2 & 2 \
\end {bmatrix}\[ \]但是这是一般情况,有一种情况,是可以交换的。
-
可交换的特殊情况(Identity matrix)
有一种矩阵我们叫做单位矩阵(Identity matrix),其特点是:
-
矩阵一定是\(n \times n\)的,记作$I \space or \space I_{n \times n} $
-
矩阵对角线一定是1,其他部分一定是0
\[\]\begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end {bmatrix}
}\limits_{2 \times 2}
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
\mathop{
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end {bmatrix}
}\limits_{3 \times 3}
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
\mathop{
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
\end {bmatrix}
}\limits_{4 \times 4}
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
\mathop{
\begin {bmatrix}
1 & & & & & \
& 1 & & & & \
& & 1 & & & \
& & & 1 & & \
& & & & \ddots & \
& & & & & 1 \
\end {bmatrix}
}\limits_{n \times n}\[ \] -
MATLAB代码:
% Initialize random matrices A and B A = [1,2;4,5] B = [1,1;0,2] % Initialize a 2 by 2 identity matrix I = eye(2) % The above notation is the same as I = [1,0;0,1] % What happens when we multiply I*A ? IA = I*A % How about A*I ? AI = A*I % Compute A*B AB = A*B % Is it equal to B*A? BA = B*A % Note that IA = AI but AB != BA
A = 1 2 4 5 B = 1 1 0 2 I = Diagonal Matrix 1 0 0 1 IA = 1 2 4 5 AI = 1 2 4 5 AB = 1 5 4 14 BA = 5 7 8 10
-
矩阵的倒数(逆矩阵)
倒数的概念很熟悉吧。一个数和另一个数相乘等与1我们就认为这对数字互为倒数。
对于矩阵,我们也有同样的概念。由于我们认为单位矩阵和实数中1的地位相同,因此它是这样表述的:
我们称\(A^{-1}\)为逆矩阵。
一些要注意的点:
- 存在逆矩阵的矩阵一定是方阵
- \(\begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end {bmatrix}\)像这样的0矩阵是没有的逆矩阵的,因为无论如何都无法让它变成单位矩阵。你可以将没有逆矩阵的方阵近似成零矩阵看。
- 没有逆矩阵的矩阵我们称之为奇异矩阵或者是退化矩阵
矩阵的倒置
我们现在有一个矩阵:
而它的倒置矩阵就是:
-
这个操作可以看成是,把A的每一个行向量改成值相同的列向量,再按顺序拼接起来。
-
\(A\)经过转置之后,\(A\)和\(A^T\)中每个元素的对应关系是
\[\]\[ \]% Initialize matrix A A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9] % Transpose A A_trans = A' % Take the inverse of A A_inv = inv(A) % What is A^(-1)*A? A_invA = inv(A)*A
A = 1 2 0 0 5 6 7 0 9 A_trans = 1 0 7 2 5 0 0 6 9 A_inv = 0.348837 -0.139535 0.093023 0.325581 0.069767 -0.046512 -0.271318 0.108527 0.038760 A_invA = 1.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 1.00000