Kahan's Summation Formula

做项目终于遇到精度产生的问题了，由于免费的CULA库只能用float精度，所以程序里有些数组是float的，然后在做累加运算的时候问题就出来了——计算小节点系统就收敛，大节点系统发散，明显是精度问题。于是研究了一下Kahan 求和公式，这货果然厉害，能将累加的精度保持在float级别。

以下是我用VC写的演示程序：

#include "stdafx.h"

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

int i;

float x=0.001;

float y;

float t;

float sum;

float eps=0;

printf("\n理论值：%f\n",x*1000000);

sum=0;

for(i=0;i<1000000;i++)

{

sum+=x;

}

printf("\n累加值：%f\n",sum);

sum=0;

for(i=0;i<1000000;i++)

{

y=x-eps;

t=sum+y;

eps=(t-sum)-y;

sum=t;

}

printf("\nKahan累加值：%f\n",sum);

getchar();

return 0;

}

运行结果：

Summation Formula" name=image_operate_671312371788031 alt="Kahan's Summation Formula" src="http://s5.sinaimg.cn/middle/59154d37ga9985d8fd894&690" width=677 height=442 real_src="http://s5.sinaimg.cn/middle/59154d37ga9985d8fd894&690">

 

保持精度的小trick：Kahan求和

由于最近用GPU编程，涉及到了float数组，就不得不涉及精度问题。对于双精度如C中double以及Fortran中real(kind = 8)，一般运算的精度足以保持，但是单精度数组，在大量操作后极易出现“大数吃小数”等不稳定现象。在不能使用更高精度数组的前提下，可以用一个小技巧来保持精度：Kahan求和。

1 见下面一段Fortran代码：

program main
implicit none
    integer, parameter:: N = 1000000
    integer i
    real(kind = 4), parameter:: ELEMENT = 0.001
    real(kind = 4) s, eps, y, t

    write (*, "('Theoretical value: ', F10.5)") N*ELEMENT

    s = 0.0
    do i = 1, N
        s = s+ELEMENT
    enddo
    write (*, "('Naive method value: ', F10.5)") s

   s = 0.0
    eps = 0.0
    do i = 1, N
        y = ELEMENT-eps
        t = s+y
        eps = (t-s)-y
        s = t
    enddo
    write (*, "('Kahan method value: ',F10.5)") s

stop
end

运行结果为：

Theoretical value: 1000.00006
Naive method value:  991.14154
Kahan method value: 1000.00006

对于N个0.001，普通方法累加到991左右就已经丢失精度了。可以看到用“Kahan method”能够得到近乎于理论的精度数值。分析一下他的原理。我们发现，如果没有精度损失，eps永远为0，y就是ELEMENT=0.001。一旦在 i 到了某个数值出现了大数吃小数 的情形时，不妨激进的设小数部分全部被截断，则如s = 991.0000时，由于eps之前为0，则y=0.0010.之后t=s+y，得到的就是“吃掉”的结果，如991.0000，绝对误差达0.001.此时：eps=(t-s)-y=(991.0000-991.0000)-0.0010=-0.001，可见eps起了保存“损失位”的作用。此时s=t=991.0000.下个循环：y = 0.001--0.001=0.002，t = s+y=991.0000，eps=-0.002，如此反复，这样足够多循环后，eps足可以复现大的校正值，从而保证结果的高精度。当eps足够大时候，(t-s)-y=0,从而使eps重新为0，继续起保存损失的作用。
例如，在GPU计算大型矩阵或向量时，如果涉及到reduction操作，可以在加和中使用这种技巧。当然GPU计算能力在2.x是可以有双精度运算，但是要比单精度慢20倍左右，一般不经常使用。

 

注意：有人称一些优化激进的编译器可能会做这样的化简：eps=(t-s)-y=(s+y-s)-s=0。我试验了intel fortran和GNU fortran，包括开启了-O3，-funsafe-math-optimizations等方法，都没有问题。原来ANIS C标准规定不允许做表达式重排序优化。

 

2 这种方法在数值计算中是常用的。例如，在编程中应用Lagrange插值公式：

显然直接使用这个公式非常的讨厌，幸好Neville给我们推导了利用递推来完成这个插值的公式

其中Pi=yi。直接使用这个公式当然可以。但是，当P若有离得较远时，这些加法可能也会有损失，如果能够对这些值的差进行计算，那么精度可以提高一个数量级：

3 Kahan求和方法的本质是利用了计算机运算中“大数加小数”“相近数相减”这种禁忌来完成之一工作的。在实际工作中，常常通过把公式变形来避免这种禁忌。如量子化学中计算Boys函数：

Fn(x)在x接近0时候接近1，因此小x时候会出现相近数相减，且除以特小数这种及其不稳定的现象，但是，只要做一个初等的变换：

这个公式可以大大提高结果的精确度！