🔖【杂题结论】

图论、树论相关

1. \(n\)个节点的图，不一定连通，但每个连通块都是欧拉图：\(\large g_n = 2^{\binom{2}{n-1}}\)

2. \(n\)个节点的图，是连通欧拉图：\(\large f_n = g_n-\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\left[f_i\cdot g_{n-i}\cdot \dbinom{i-1}{n-1}\right]\)

3. 对于一棵树，我们用一个线段树维护，针对线段树上结点代表的一个区间\(\left[l,r\right]\)，我们维护这些点中距离最大的两个点分别是谁，一个结点的左儿子右儿子分别会pushup上来\(4\)个点，那么这个结点维护的距离最大的两个点一定是这四个点中的。

4. 一个带权（权上限为\(k\)）的\(n\)节点完全图，总方案数：\(\large g_n = (k+1)^{\binom{n}{2}}\)。

5. 一个带权（权上限为\(k\)）的\(n\)节点完全图，节点间最短距离都为\(0\)，总方案数：\(\large f_n = g_n-\sum\limits_{i = 1}^{n - 1}f_i\cdot g_{n-i}\cdot\binom{n-1}{i-1}\cdot k^{i\cdot (n-i)}\)。

数学相关

1. 任意数列的倒数和皆趋于\(\ln n\)。

2. \(\sum\limits_{i为质数}^{n}\frac{n}{i}\)行为接近\(n\ln n\)