【模板】筛法

\(prime\)

const int N = 1e7+10;
int prime[N];
bool notprime[N];
int minprime[N];
void prime_sieve(const int maxn) {
	register int i, multi_helper;
	register int* j;
	const int half_maxn = maxn>>1;
	for(i = 2;i <= half_maxn;++i) {
		if(!notprime[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			minprime[i] = i;
		}
		for(j = prime+1;*j&&*j <= minprime[i];++j) {
			notprime[i*(*j)] = true;
			minprime[i*(*j)] = *j;
		}
	}
	for(;i <= maxn;++i) 
		if(!notprime[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			minprime[i] = i;
		}
}

const int N = 1e8+5e7+10;
const int P = 1e7+10;
int prime[P];
int minprime[N];
void prime_sieve(const int maxn) {
	register int i, upd;
	register int* j;
	const int half_maxn = maxn>>1;
	for(i = 2;i <= half_maxn;++i) {
		if(!minprime[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			minprime[i] = i;
		}
		upd = std :: min(maxn/i,minprime[i]);
		for(j = prime+1;*j&&*j <= upd;++j) 
			minprime[i*(*j)] = *j;
	}
	for(;i <= maxn;++i) 
		if(!minprime[i]) 
			prime[++prime[0]] = i;
}

这个常数还是比较小的。

可以在 \(80\ ms\) 内处理出 \(1e7\) 以内的素数。

可以在 \(0.8\ s\) 内处理出 \(1e8\) 以内的素数。

\(upd\ on\ 2022.10.07\)

const int N = 100000005;
const int P = 30000005;
int prime[P];
int *p = prime;
int minprime[N];
void tree_line(int max_size) {
	const int half_size = max_size>>1;
	const int tree_size = max_size/3;
	const int sqrt_size = sqrt(max_size);
	int i, upd;
	int *j;
	minprime[2] = minprime[4] = *++p = 2;
	for(i = 3;i <= sqrt_size;++i) {
		if(!minprime[i]) 
			*++p = minprime[i] = i;
		for(j = prime+1;;++j) {
			minprime[i*(*j)] = *j;
			if(*j == minprime[i]) 
				break;
		}
		++i;
		minprime[i<<1] = 2;
	}
	for(;i <= tree_size;++i) {
		if(!minprime[i]) 
			*++p = minprime[i] = i;
		if((upd = max_size/i) >= minprime[i]) {
			for(j = prime+1;*j <= minprime[i];++j) {
				minprime[i*(*j)] = *j;
				if(j == p) 
					break;
			}
		} else {
			for(j = prime+1;*j <= upd;++j) {
				minprime[i*(*j)] = *j;
				if(j == p) 
					break;
			}
		}
		++i;
		minprime[i<<1] = 2;
	}
	for(;i <= half_size;++i) {
		if(!minprime[i]) 
			*++p = minprime[i] = i;
		minprime[i<<1] = 2;
		++i;
		minprime[i<<1] = 2;
	}
	for(;i <= max_size;i += 2) 
		if(!minprime[i]) 
			*++p = i;
}

这份板子在电脑稳定情况下，筛 \(1e8\) 仅需 \(465\,ms\) 左右。（-O2）

其中加入了对：

1. \(\sqrt n\) 的讨论

2. \(\frac{n}{3}\) 的讨论

3. \(\frac{n}{2}\) 的讨论

4. 奇偶性的讨论

下一步准备搞数论分块，降低除法次数。

\(\varphi(n)\)

ull phi[z];
void line_phi(int n) {
	b.reset();
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		if(!b[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 1;j <= prime[0];++j) {
			if(i*prime[j] > n) break;
			if(i%prime[j]) 
				phi[i*prime[j]] = phi[i]*phi[prime[j]];
			else {
				phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}

\(\mu(n)\)

int mu[z];
void line_mu(int n) {
	b.reset();
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		if(!b[i]) {
			mu[i] = -1;
			prime[++prime[0]] = i;
		}
		for(int j = 1;j <= prime[0];++j) {
			if(i*j > n) break;
			b[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0) {
				mu[i*prime[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

开始卡常。

const int N = 1e7+10;
const int P = 4e6+10;
int mu[N];
int minprime[N];
int prime[N];
void init(int init_size) {
	const int half_size = init_size>>1;
	register int i, *j, upd, m_h;
	register int *p = prime+1;
	mu[1] = 1;
	for(i = 2;i <= half_size;++i) {
		if(!minprime[i]) {
			minprime[i] = i;
			*p++ = i;
			mu[i] = -1;
		}
		if((upd = init_size/i) >= minprime[i]) {
			for(j = prime+1;*j < minprime[i];++j) {
				minprime[m_h = i*(*j)] = *j;
				mu[m_h] = -mu[i];
			}
			minprime[m_h = i*(*j)] = *j;
			mu[m_h] = 0;
		} else {
			for(j = prime+1;*j <= upd;++j) {
				minprime[m_h = i*(*j)] = *j;
				mu[m_h] = -mu[i];
			}
		}
		mu[i] += mu[i-1];
	}
	for(;i <= init_size;++i) 
		if(!minprime[i]) 
			mu[i] = mu[i-1]-1;
		else 
			mu[i] += mu[i-1];
}

可以稳定在 \(128\,ms\) 左右，不错了。

注意卡常的板子筛的是 \(mu(n)\) 的前缀和。

\(\tau(n)\)

ull tau[z];
ull num[z];
void line_tau(int n) {
	tau[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		if(!b[i]) {
			b[i] = 1;
			prime[++prime[0]] = i;
			tau[i] = 2;
			num[i] = 1;
		}
		for(int j = 1;j <= prime[0];++j) {
			if(i*prime[j] > n) break;
			b[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0) {
				num[i*prime[j]] = num[i]+1;
				tau[i*prime[j]] = tau[i]/num[i*prime[j]]*(num[i*prime[j]]+1);
				break;
			} else {
				num[i*prime[j]] = 1;
				tau[i*prime[j]] = tau[i]*2;
			}
		}
	}
}

\(\sigma(n)\)

ull sigma[z];
ull g[z];
void line_sigma(int n) {
	sigma[1] = g[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		if(!b[i]) {
			b[i] = 1;
			prime[++prime[0]] = i;
			g[i] = i+1;
			sigma[i] = i+1;
		}
		for(int j = 1;j <= prime[0];++i) {
			if(i*prime[j] > n) break;
			b[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0) {
				g[i*prime[j]] = g[i]*prime[j]+1;
				sigma[i*prime[j]] = sigma[i]/g[i]*g[i*prime[j]];
				break;
			} else {
				sigma[i*prime[j]] = sigma[i]*sigma[prime[j]];
				g[i*prime[j]] = 1+prime[j];
			}
		}
	}
}