📚【模板】Kruskal重构树

构造较为简单。

性质较为有用。

我们在跑 Kruskal 最小生成树 的过程中，每加入一条边，就把这条边的两端所在的根节点连接到一个新的节点上，并使新的节点成为根节点，给这个节点赋予与这条边一样的权重。便构造出了 Kruskal 重构树 。

#include <iostream>
#include <algorithm>
const int N = 1e5+10;
int n, m;
int anc[N<<1];
void init(int initial_size) {
	for(register int i = 1;i <= initial_size;++i) 
		anc[i] = i;
}
int get_anc(int x) {
	if(x != anc[x]) 
		anc[x] = get_anc(anc[x]);
	return anc[x];
}
void merge(int x,int y) {
	if(get_anc(x) != get_anc(y)) 
		anc[anc[x]] = anc[y];
}
bool dsu(int x,int y) {
	return get_anc(x) == get_anc(y);
}
struct EDGE {
	int f, t, next;
	int w;
	EDGE () 
	: f(0), t(0), next(0), w(0) {}
	EDGE (int _f,int _t,int _next,int _w)
	: f(_f), t(_t), next(_next), w(_w) {}
} edge_map[N], edge_ksk[N<<2];
int head_ksk[N<<1], ksk_edge_tot;
void add_edge_ksk(int f,int t,int w) {
	edge_ksk[head_ksk[f] = ++ksk_edge_tot] = EDGE(f,t,head_ksk[f],w);
}
int ksk_node_tot;
int val[N<<1], pid[N<<1];
void kruskal_reconstruct() {
	std :: sort(edge_map+1,edge_map+m+1,[](const EDGE _x,const EDGE _y) {return _x.w < _y.w;});
	ksk_node_tot = n;
	init(n<<1);
	for(register int i = 1;i <= m;++i) 
		if(!dsu(edge_map[i].f,edge_map[i].t)) {
			val[++ksk_node_tot] = edge_map[i].w;
			merge(anc[edge_map[i].f],ksk_node_tot);
			merge(anc[edge_map[i].t],ksk_node_tot);
			pid[anc[edge_map[i].f]] = ksk_node_tot;
			pid[anc[edge_map[i].t]] = ksk_node_tot;
			add_edge_ksk(anc[edge_map[i].f],ksk_node_tot,1);
			add_edge_ksk(ksk_node_tot,anc[edge_map[i].f],1);
			add_edge_ksk(anc[edge_map[i].t],ksk_node_tot,1);
			add_edge_ksk(ksk_node_tot,anc[edge_map[i].t],1);
		}
	std :: cerr << ksk_node_tot << std :: endl;
}
int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(register int i = 1;i <= m;++i) 
		scanf("%d %d %d",&edge_map[i].f,&edge_map[i].t,&edge_map[i].w);
	kruskal_reconstruct();
	for(register int i = 1;i <= ksk_node_tot;++i) 
		printf("%d : %d %d\n",i,pid[i],val[i]);
	return 0;
}

• 不能进行按秩合并，否则会破坏并查集的根同时作为子树的根的性质。

Kruskal 重构树 有性质：原图中两个点之间的所有简单路径上最大边权的最小值 = 最小生成树 上两个点之间的简单路径上的最大值 = Kruskal 重构树 上两点之间的 LCA 的权值。

例题先咕。