dmy 集训 2.24
已严肃购入舞萌立直麻将！！集训完准备购入鸠鸟挂件和对立键帽。
QOJ7206 Triple
给定一棵树，求满足 \(dis(A,B)\le \max(dis(A,C),dis(B,C))\) 的有序三元组 \((A,B,C)\) 的数量。
考虑取点 \(u\) 使得 \(A,B,C\) 在 \(u\) 的三个不同的子树中，于是：
好烦啊！考虑正难则反，计算 \(dis(u,C)<\min(dis(u,A),dis(u,B))\) 的三元组个数。因为我们有一个根所以考虑点分治。
设分治中心是 \(u\)，发现还是好难啊！每次要遍历整棵树复杂度会爆炸的！那每次不限定 \(u\) 一定是唯一交点就好了，对三个点所在的子树情况做大分讨：
- 三个点在不同的子树：直接枚举 \(C\)，预处理出各个深度的节点数量和每个子树各个深度的后缀和（显然数量不会超过树的大小），对着这个东西做分讨就能做出来了。
- \(A,C\) 在同一颗子树（\(B,C\) 同理）：枚举交点 \(X\) 和 \(dis(X,C)\)，要求 \(dis(X,A)>dis(X,C)\) 和 \(dis(X,B)>dis(X,C)\)，前者上长剖可做，后者把 \(dis(X,B)\) 换成 \(dis(u,B)+dis(u,X)\) 上后缀和即可。
- \(A,B\) 在同一颗子树：枚举交点 \(X\) 和 \(\min(dis(X,A),dis(X,B))\)，类似 \(A,C\) 的做法，拆一下即可。
QOJ7236 Set Intersection
\(|A\cap B|\ge \frac{n}{2}\) 等价于 \(|A\cup B|-|A\cap B|\le n\)。对所有集合二元组求 \(|A\cup B|-|A\cap B|\) 的和，发现至多是 \(2n(\frac{n}{2}+1)\frac{n}{2}=n^2(\frac{n}{2}+1)<\frac{n(n+1)}{2}(n+2)\)，所以一定有解。
但是暴力枚举二元组还是太慢了！我们取一个集合 \(A\)，计算剩下所有的集合 \(B\) 与 \(A\) 的 \(|A\cup B|-|A\cap B|\)，上面的式子两边乘上 \(\frac{2}{n}\) 发现一定有某个集合 \(A\) 可以根据抽屉原理分析出来有解，找到之后再枚举 \(B\)，这样就可以 \(n^2\) 过了。
QOJ7258 Random Walk
随机游走，每次等概率往上下左右其中之一走一步，求所有行进序列中走过的格子数的总和。
依旧随机游走领域大神，还没细想，咕咕咕。
ARC150F Constant Sum Subsequence
看了一眼题解，大致约等于 Kingna 大神写的，以及大神乱搞有待学习。
QOJ17153 Deque Sort
发现后部分有序后缀每轮都在变长，所以一定能成功排序。考虑一次操作相当于什么。
相当于把所有的前缀最大值取出来排序再放到末尾，剩下的部分翻转放在前面。于是若干次排序之后序列一定形如 一段递减-一段没当过前缀最大值的数-一段递增。做了一轮之后递增段的末尾会扔进已经排序好的部分，取出的前缀最大值一定是第一个数和中间一段的一部分，递减加上前缀最大值放到后面当递增，递增翻转后放前面边递减，中间没取出来的不变。每个数最多从中间被取出一次，第一个数最多被取出 \(n\) 次，所以最终取得前缀最大值个数不超过 \(2n\)。
发现区间翻转是平衡树的经典应用，上平衡树朴素实现即可。
QOJ17158 Palindromes
长为 \(N\) 的二元字符串 \(s\)，满足长度为 \(a_1,\cdots,a_n\) 的前缀都是回文，求有多少种满足条件的 \(s\)。
显然答案应该是 \(2\) 的幂次，等价于由回文关系确定哪些字符是相等的，求连通块数量。
考虑 border 理论，border 长度从大到小排序，可以分成 \(\log\) 个等差数列，从大到小考虑 \(a\)，如果两个数相差超过两倍则没有没有限制，直接加边减连通块。如果相差不超过两倍，设为 \(x>y,x<2y\)，将 \(x \to 2y-x\) 然后重新排序，类似辗转相除，直到处理完所有 \(a\)。每次 \(x\to 2y-x\) 至少把 \(x-y\) 减小一半，上个堆优化一下，时间复杂度至多双 \(\log\)，分析一下可能可以更小，但用不着了。
QOJ17160 Multiset Variance
写不动了，先放个哥哥的题解，后面再来补。
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